Численное решение задач идентификации коэффициента фильтрации на основе двухшаговых методов минимизации функции невязки

• Автор: Кадырова, Альфия Шамилевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 150 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения

Введение

Раздел 1. Двухшаговые методы Ньютона и ГауссаНыотона минимизации функции невязки

1.1. Задача минимизации функции невязки

1.2. Запасы чувствительности.

1.3. Сингулярное разложение симметрической матрицы.

1.4. Построение двухшаговых методов Ньютона и ГауссаНьютона минимизации функции невязки

Раздел 2. Идентификация коэффициента фильтрации неоднородного пласта

2.1. Численное решение уравнения фильтрации

2.2. Постановка задачи идентификации коэффициента фильтрации.

2.3. Модельные задачи
2.4. Результаты решения модельных задач без погрешностей в замерах напора.
2.5. Решение модельных задач с погрешностями в замерах напора
Раздел 3. Двухшаговые методы ЛевенбергаМарквардта минимизации функции невязки
3.1. Построение двухшаговых методов ЛевенбергаМарквардта
3.2. Численные результаты.
3.3. Модификации двухшаговых методов ЛевенбергаМарквардта
Раздел 4. Учет априорной сравнительной информации в задачах идентификации коэффициента фильтрации.
4.1. Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию
4.2. Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию, для задач с большим числом идентифицируемых параметров.
4.3. Двухшаговые методы минимизации функции невязки, учитывающие
сравнительную информацию
Заключение
Литература


В практических задачах получаемая система алгебраических уравнений имеет большую размерность и обычно решается одним из итерационных методов, учитывающих симметричность и сильную разреженность матрицы системы. Одним из наиболее часто используемых методов является метод сопряженных градиентов с предобусловливанием [,,,]. Скорость сходимости и эффективность этого метода сильно зависят от используемой предобусловливающей матрицы. Сравнение результатов, полученных методом сопряженных градиентов с использованием трёх различных предобусловли-вающих матриц (неполное разложение Холесского, модифицированное неполное разложение Холесского, полиномиальный метод), проведено в []. В [] приведены результаты решения девяти трёхмерных задач но определению поля напора в условиях однофазной стационарной фильтрации жидкости, полученные методом сопряженных градиентов без предобусловливания и с использованием для построения предобусловливающей матрицы диагонального масштабирования, неполного разложения Холесского, неполной факторизации, модифицированной неполной факторизации. Другие подходы к построению предобусловливающей матрицы используются в [,,]. Для тестирования методов решения задачи идентификации коэффициента фильтрации используются модельные задачи []. В модельных задачах по известным значениям коэффициента фильтрации (истинные значения) определяются значения напора в наблюдательных точках. Число и границы зон однородности могут считаться как известными, так и неизвестными. В последнем случае их также требуется определить в процессе идентификации. Методы решения отрабатываются на модельных задачах, как без погрешностей, так и с погрешностями, вносимыми в задачу. В модельных задачах без погрешностей решение всегда существует. Число и положение наблюдательных точек должно быть достаточным для выполнения условия единственности решения в задаче без погрешностей, что проверяется численными экспериментами. Всё это требует больших вычислительных затрат. В работе предложены двухшаговые методы минимизации функции невязки: двухшаговые методы Ньютона, двухшаговые методы Гаусса-Ньютона и двухшаговые методы Левенберга-Марквардта. Для анализа известных методов минимизации функции невязки и построения двухшаговых методов введено понятие запаса чувствительности. На первом этапе сингулярного разложения с помощью преобразований Хаусхолдера строится подобная трёхдиагональная симметрическая матрица, которая на втором этапе итерационно приводится к диагональному виду с помощью (^-итераций с одинарным сдвигом. В главной системе координат запас чувствительности характеризует потенциальную возможность к минимизации функции невязки вдоль каждого из направлений. Построены двухшаговыс методы Ньютона и Гаусса-Ньютона минимизации функции без поиска и с поиском шага, обобщающие классические методы Ньютона и Гаусса-Ньютона. В двухшаговых методах Ньютона и Гаусса-Ньютона при минимизации овражных функций, когда текущая точка расположена вблизи дна оврага, первый шаг соответствует движению вдоль дна оврага. При изменении направления дна оврага первый шаг может привести к подъёму на его склон (значение функции невязки увеличивается), а второй шаг к спуску ко дну оврага (значение функции невязки становится меньше начального значения на итерации). Проведение таких двух шагов на одной итерации позволяет обойти изгибы дна оврага и тем самым ускорить процесс минимизации. Эти методы протестированы на наиболее часто встречающихся тестовых функциях (квадратичная функция простой структуры, функция Розенброка, двумерная экспоненциальная функция, функции Биля-, Пауэлла и Зангвилла). Результаты тестирования показали, что эти методы наиболее эффективны при минимизации функций с сильным изгибом дна оврага. В [] приводится пример решения системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными методом Ньютона. В этом примере на каждой итерации проводится масштабирование невязок, что позволяет сократить число итераций, необходимое для получения решения. На каждой итерации процесса минимизации значение функция невязки с масштабными коэффициентами уменьшается, однако, значение функция невязки без масштабных коэффициентов на отдельных итерациях увеличивается.