Приближенные методы расчета безарбитражных цен опционов европейского типа на валютных рынках

• Автор: Филимонова, Светлана Руслановна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Введение

1 Расчт цен валютных опционов в моделях с диффузией и скачками

1.1 Расчт цен ванильных опционов

1.2 Расчет цен азиатских опционов в диффузионных моделях валютных рынков.

1.3 Калибровка моделей.

1.4 Предполагаемое рискнейтральное распределение РНР

1.5 Стандартные котировки валютных опционов и их использование при оценке предполагаемой функции распределения

2 Расчт цен валютных опционов в современных моделях валютных рынков

2.1 Модели с локальной волатильностью .ж

2.2 Калибровка в моделях со скачками .

2.3 Модели со стохастической волатильностью.

2.3.1 Расчет цен ванильных опционов в диффузионных моделях. Модель Хестона.
2.3.2 Расчт цен ванильных опционов в моделях со скачками.
Модель Бэйтса.
2.4 Калибровка параметров модели Хестона
3 Численные методы и схемы. Результаты расчетов
3.1 Метод МонтеКарло
3.2 Методы уменьшения дисперсии
3.3 Расчет цен опционов в моделях типа Мертона.
3.4 Расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической
волатильностью.
Приложение
А Результаты расчетов цен ванильных опционов на курс обмена и их комбинаций в моделях тина Мертона по методу МонтеКарло
В Результаты расчетов цен ванильных опционов на курс обмена в модели Хестона по методу МонтеКарло
С Результаты расчетов цен ванильных опционов на курс обмена в модели Хестона с помощью
График курса обмена в модели Хестона, построенный с помощью метода Эйлера
Е Результаты расчетов цен азиатских опционов на курс обмена
в модели ГК, полученные с помощью явного представления
Р Графики рыночных цен коллопционов и цен, рассчитанных по модели Хестона
Введение


Если на рынке присутствует две валюты, то соответствующие безрисковые процентные ставки будут обозначаться г в i и i. Если же валют больше, то одной из них попрежнему будет соответствовать процентная ставка т1, а остальные процентные ставки будут обозначаться гд, к 1,. Производная ценная бумага или платежное обязательство с датой исполнения Т Тплатежное обязательство это случайная величина X 6 ТтПлатежное обязательство называют простым платежным обязательством, если оно имеет вид X ФХТ, где Фхнеслучайная функция, называемая контрактной функцией. Приведем примеры контрактных функций наиболее распространенных опционов производных ценных бумаг на валютном рынке. Коллопцион. К страйкцена исполнения опциона. Путиопцион. Фх К . На внебиржевых рынках также часто торгуют комбинированными опционами. Наиболее распространенные комбинированные опционы на валютном рынкеэто стрэддлы, стрэнглы и опционы разворота риска Ы1опционы. Стрэддл. Фх х К К х. Цена стрэдала содержит информацию об ожидаемой дисперсии курса обмена. Чем выше ожидаемая дисперсия, тем больше доход, который может получить владелец стрэддла, а, следовательно, и выше его стоимость. Стрэнгл. Фх х К1 I К2 х. Данная стратегия приносит доход, лишь когда есть существенное изменение цены базового актива за пределами интервала, образованного страйками пути коллопциона. ЯЯопциоп. Цены Ш1огщионов определяются разностью цен опционов, страйки которых выше или ниже текущей форвардной ставки. Цена опциона отражает точку зрения участников рынка относительно оценки роста если разность положительна или убывания если разность отрицательна стоимости местной валюты. Если понимание направления движения стоимости валюты правильное, то стратегия приносит доход. Однако, если оно неверно, то существует риск неограниченных потерь при открытой короткой позиции. Помимо простых платежных обязательств, на рынке присутствуют также платежные обязательства, зависящие от траекторий, например, азиатские опционы. Азиатские опционы АО это опционы, платежные обязательства которых зависят от траектории. К1. К2 0константы, а Я Я и тсположительная борелевская функция на 0. Если функция агг имеет вид ах хку а К 0 и К2 0, то формула 1 описывает АО с фиксированной договорной ценой, если К о, а К ОАО с плавающей договорной ценой. Выбор к 1 соответствует платежному обязательству для пут или коллопциона, выбор т соответствует непрерывному АО, а выбор тЬ удискретному АО. Развитие вероятностных моделей валютных рынков играет важную роль в понимании структуры функционирования мировых финансовых рынков. Одной из первых моделей финансового рынка была модель БлэкаШоулса 1 а ее обобщение на валютные рынки появилось в работе Гармана и Кольхагена 2 и получило название модели ГарманаКольхагена ГК. Описание динамики валютного рынка требует привлечения результатов и методов теории стохастических уравнений, а также теории уравнений в частных производных . Для того чтобы описать динамику валютного рынка, обозначим П, Я, Р вероятностное пространство, на котором определен ви перовский процесс
1У и порожденный им поток а алгебр Р. Рассмотрим рынок, на котором присутствуют безрисковые и рисковые активы, оцененные в разных валютах. Обозначим Ва0 и В0 текущие цены безрисковых активов, а и текущие цены рисковых активов в местной и иностранной валюте. Здесь О0ТиТположительная фиксированная константа. Пусть динамика цен безрисковых активов . Х0 Х0а а У0, ХЬ х. Обозначим В ХВ цену иностранного безрискового актива в местной валюте. Ш0. П,Р, то есть вероятностная мера 5, абсолютно непрерывная относительно меры Р, и такая, что относительно нее дисконтированная цена любого торгуемого актива является мартингалом. Модель вида 2 называется моделью ГарманаКольхагена. ХТ хехргТ . Фе , 5
где плотность распределения случайной величины . Формула 5 позволяет вычислить цену ,x 1нирокого класса контрактных функций Ф, по крайней мере, приближенно. Существует, однако, несколько важных случаев, когда , х можно найти в явном виде, в частности для европейского коллопциона. Рассмотрим коллопцион с контрактной функцией Фх тахх К, 0.