Обратные краевые задачи для бианалитических функций и их использование в моделировании напряжённого состояния упругого тела

• Автор: Скородулина, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Введение.

Глава 1. Краевые задачи для аналитических функций

1. Основные положения граничной теории аналитических функций.

п. 1. Теорема единственности.

п.2. Граничные свойства аналитических функций

2. Краевые задачи для аналитических функций

п. 1. Краевая задача Римана

п.2. Задача Гильберта.

3. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций.

п.1 Краевые задачи со сдвигом для кусочноаналитической

функции
п.2. Задача типа Газемана для кусочноаналитических функций
п.З. Задача Карлемана для аналитической в области функции.
п.4. Задача типа Карлемана.
Выводы 1 главы
Глава 2. Краевые задачи для пол аналитических функций.
Граничные свойства полианалитических функций.
4. Основные понятия теории полианалитических функций.
п.1. Основные определения
п.2. Основные задачи теории упругости, краевые задачи для
бианалитических функций
5. Основные краевые задачи для полианалитических функций.
п.1. Постановка краевых задач для полианалитических функций
п.2. Задача типа Карлемана для бианалитических функций.
п.З. Основные результаты теории краевых задач для
полианалитических функций
6. Теорема единственности для полианалитических функций
п.1. Теорема единственности для бианалитической функции, заданной на двух концентрических окружностях.
п.2. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающей функциями
соЛ4 Я . яДи 1,2,., п
п.З. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающими функциями
2яГ. 1,2,.,
Выводы 2 главы.
Глава 3. Основные краевые задачи для бианалитических функций и
их обобщений, заданные на двух контурах.
7. Задачи Римана.
п. 1. Задача Римана для бианалитических функций
п.2. Однородная задача Римана для бианалитических функций
п.З. Неоднородная задача Римана для бианалитических функций.
п. 4. Задача Римана для полианалитических функций порядка п
п. 5. Пример решения обратной задачи Римана для
бианалитических функций
8. Задача Газемана для бианалитических функций.
п. I. Постановка задачи Газемана для бианалитических функций.
п. 2. Задача Газемана для бианалитических функций по скачку
п.З. Решение задачи Газемана для бианалитических функций
п.4. Задача Газемана для полианалитических функций порядка п,
заданная на п концентрических окружностях
9. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных
на двух контурах.
п.1. Постановка задачи типа Карлемана для бианалитических
функций заданных на двух концентрических окружностях
п.2. Задача типа Карлемана по скачку для бианалитической
функции, заданной на двух концентрических окружностях
п.З. Задача типа Карлемана для бианалитических функций,
заданных на двух концентрических окружностях.
п.4. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух контурах, ограничивающих конечные
области В и И2
п.5. Задача типа Карлемана для бианалитической функции,
заданной па двух контурах, ограничивающих две конечные
области и .
Выводы 3 главы.
Глава 4. Математические модели основных задач теории упругости,
построенные на обратных краевых задач для
бианалитических функций.
. Решение задач теории упругости при помощи математической модели, основанной на краевой задаче типа Карлсмана для
бианалитических функций
п. 1. Решение первой задачи теории упругости для кругового диска
п.2. Вторая основная задача теории упругости в случае, когда известна одна компонента смещений на двух
концентрических окружностях
п.З. Смешанная задача теории упругости на двух концентрических
окружностях
п.4. Первая основная задача теории упругости для эллиптических
областей
.0 численной реализации решения краевых задач для
бианалитических функций, заданных на двух контурах
Выводы 4 главы
Общие выводы
Литература


Помимо классических краевых задач существуют обратные краевые задачи, в которых искомая функция восстанавливается в основном по контуру, на котором она задана. К настоящему времени достаточно хорошо изучена обратная задача для аналитических функций. Решением этой задачи занимались такие специалисты, как Д. П. Рябушинский, В. В. Демченко, Н. И. Нужин, Ф. Д. Гахов. Обратные краевые задачи для аналитических функций позволили моделировать ряд важных технических задач таких, как определение формы авиационного профиля но заданному на нм распределению давления. В свою очередь, в теории краевых задач для бианалитических функций, до последнего времени обратные краевые задачи не рассматривались. Это связано в основном с двумя причинами. Для бианалитических функций теорема единственности в классической постановке не выполняется. Поэтому для постановки и решения обратной задачи для бианалитических функций необходимо сформулировать и доказать утверждение, аналогичное теореме единственности для аналитических функций. Поставленная проблема тесным образом связана с проблемой Хейнмана. Л г г 1, однако тождественным нулм не является, и поставил задачу определить некоторый достаточно общий класс контуров, для которых теорема единственности справедлива. Теоремам единственности для бианалитических функций посвящено более ти работ Смоленской школы математиков, среди которых особо следует отметить результаты М. Ф. Зуева, М. Б Балка, М. Я. Мазалова. Однако использование доказанных утверждений для моделирования задач теории упругости представляется затруднительным. Таким образом, актуальной научной задачей является построение и исследование математической модели обратной задачи теории упругости, основанной на краевых задачах для бианалитических функций. Формулировка и доказательство утверждения для бианалитических функций и их обобщений, аналогичного теореме единственности для аналитических функций. Подбор достаточно широкого класса контуров, для которых выполняется теорема единственности для бианалитических функций и их обобщений. Постановка обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений, моделирующих напряжнное состояние однородного изотропного тела. Исследование поставленных задач на разрешимость и устойчивость. Анализ обратных краевых задач для бианалитических функций на возможность применения их для математического моделирования напряжнного состояния упругого тела. Постановка численного эксперимента для проверки разработанной теории. Основная идея заключается в использовании обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений при построении математической модели напряжнного состояния однородного изотропного тела. Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функций комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, математического моделирования. Постановка и доказательство теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений. Построение на основе теоремы единственности математической модели напряжнного состояния в виде обратных краевых задач для бианалитических функций на двух контурах. Исследование полученной модели на разрешимость и устойчивость. Разработка общего алгоритма решения обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на двух контурах. Постановка и решение новых смешанных задач плоской теории упругости изотропного тела. МУП Смоленсктеплосеть. Апробации работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике , Весенняя сессия Кисловодск, IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике , Весенняя сессия Кисловодск, неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО Смоленская государственная сельскохозяйственная академия гг. Публикации. По результатам исследования опубликовано 5 работ, из них 2 в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России. Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 5 иллюстраций.