Модифицированный метод граничных элементов для задач гиперболического типа

• Автор: Контеев, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 150 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи

Глава 2. МГЭ для одномерного случая

2.1. Колебания закрепленной струны

2.2. Колебания закрепленной струны с подвижной границей

2.3. Колебания бесконечной струны

2.3.1. Классическое решение задачи.

2.3.2. Решение задачи методом граничных элементов

2.4. Колебания ограниченной струны с демпфирующими элементами.

2.5. Выводы.

Глава 3. МГЭ и ММГЭ для двумерного случая
3.1. Фундаментальное решение
3.2. Модификация МГЭ для двумерного случая
3.3. Постоянная аппроксимация на отрезке
3.4. Оценка сходимости
3.5. Линейная по времени аппроксимация на отрезке.
3.6. Линейная по координате аппроксимация на отрезке
3.6.1. Узловые точки на краях базового элемента
3.6.2. Узловые точки внутри базового элемента
3.7. Аналитическое вычисление функций влияния.
3.8. Колебания вантового моста. . .
3.9. Описание программного комплекса
Выводы.
Заключение
ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность


В предлагаемом подходе точка влияния берется произвольной, а фиксируется наиболее удобный базовый элемент границы, по которому один раз производится аналитическое интегрирование компонентов функций влияния, результатом которого являются функции от координат произвольной точки влияния. Таким образом, вместо обхода но всем элементам границы с численным интегрированием “вокруг” фиксированной точки влияния, здесь происходит обход точек влияния, определяемых по найденному преобразованию, для фиксированного базовою элемента. Приведен вид полученных аналитических функций для определения перемещений. В третьей главе дан анализ использования полученных формул по сравнению с классическим МГЭ, приведена оценка численной сходимости. В конце главы приводится описание програмного комплекса. Аналитическое решение уравнений, описывающих процессы колебаний, за исключением тестовых примеров, невозможно, поэтому развитие и совершенствование численных методов имеет первостепенное значение. Универсальных способов решения таких уравнений нет, поэтому выбор метода должен определяться, прежде всего, спецификой класса рассматриваемых задач. Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы оперируют дифференциальными уравнениями непосредственно в той форме, в которой они были введены (без каких-либо дальнейших математических манипуляций), при помощи одного из двух подходов: либо при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, действующими в последовательностях узлов, находящихся в области, как в методе конечных разностей, либо при помощи представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми (т. Методы конечных разностей привлекательны тем, что их можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но учет граничных условий задачи очень часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность полученного численного решения полностью зависит от степени измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка. Чем больше эти элементы, тем лучше с точки зрения минимизации числа получающихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет, но условие полной непрерывности между элементами налагается лишь в общем смысле (обычно в узлах), а не на всем протяжении границ раздела. Метод конечных элементов воплощает этот подход. Диапазон применимости методов конечных элементов, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их весьма серьезными соперниками для любого конкурирующего метода. Одна из слабых его сторон состоит в том, что он, во-первых, представляет собой схему дискретизации всего тела, а это неизбежно ведёт к очень большому количеству конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с удаленными границами, в пределах каждой из которых не все неизвестные переменные изменяются непрерывно, и. Здесь и и Ь — соответственно неизвестный и заданный вектора. Оператор . Уравнение (1. Ь(и(х)) о;(х) = J Ъ( х) со(х. Левую часть (1. Г — внешняя граница области П, 5 и С — дифференциальные операторы, обусловленные интегрированием по частям. Через Б*(си) обозначены слагаемые, содержащие функцию со и получающиеся на начальном этапе интегрирования, б'(и) содержит соответствующие слагаемые с функцией и. Оператор ! С(и) — оператором несущественных или естественных граничных условий. Для точного решения и0 должно тождественно выполняться уравнение (1. Ь( и0) = Ь (1. Гь (1. С?(ио) = ё хєГ2, (1. Гі и Г2 - участки границы тела, в сумме дающие полную поверхность границы Г . Для приближенного решения отношения (1. Рассмотрим классификацию приближенных методов. Исходная формулировка. J (? Ь(х)) ш(х) <*х = 0, (1. Для граничных условий можно требовать как точного выполнения условий (1. У (С(и) - ё) 3»гіГ2.