Моделирование обратных граничных задач стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости

• Автор: Ковтунов, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 160 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Обратная граничная задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости

1.1 Постановка прямой задачи

1.2 Разрешимость прямой задачи в слабом смысле.

1.2.1 Определение слабого решения задачи

1.2.2 Переход к однородной задаче.

1.2.3 Априорные оценки обобщенного решения однородной

задачи

1.2.4 Существование и единственность обобщенного решения однородной задачи

1.2.5 Корректность прямой задачи

1.2.6 Свойства гладкости слабого решения при гладких исходных данных
1.2.7 Случай прямоугольной области
1.2.7.1 Прямая задача 1.
1.2.7.2 Прямая задача 2.
1.3 Постановка обратной задачи
1.3.1 Случай прямоугольной области
1.3.1.1 Обратная задача 1.
1.3.1.2 Обратная задача 2.
1.3.2 Некорректность обратной задачи
1.4 Краткие выводы но главе.
Глава 2. Решение обратной задачи вариационным методом
2.1 Сведение обратной задачи к вариационной.
2.1.1 Вариационная задача 1
2.1.2 Вариационная задача 2.
2.2 Метод сопряженных градиентов решения вариационной задачи
2.3 Численные схемы.
2.4 Численное моделирование
2.4.1 Численное моделирование примой задачи.
2.4.2 Численное моделирование обратной задачи 1.
2.4.3 Численное моделирование обратной задачи 2.
2.5 Краткие выводы но главе
Глава 3. Решение обратной задачи методом квазиобращения
3.1 Метод квазиобращения решения обратной задачи.
3.2 Численные схемы
3.3 Численное моделирование
3.4 Краткие выводы но главе
Заключение
Список литературы


Во второй главе разрабатывается вариационный метод решения рассматриваемых обратных задач. Осуществляется переход от постановки исходной обратной задачи к соответствующей ей вариационной задаче. Предлагается алгоритм, который сводит решение обратной некорректной задачи к серии прямых корректных задач. Вариационная задача, после конечномерной дискретизации, решается одним из вариантов метода сопряженных градиентов. Для реализации метода сопряженных градиентов находится аналитическое представление сопряженной задачи. Демонстрируется работоспособность построенных численных алгоритмов для решения соответствующих прямой и обратной задач на серии тестовых примеров. Разработан вариационный метод решения обратных задач в прямоугольной области. Сформулированы вариационные задачи, соответствующие обратным задачам. Найдены градиенты целевых функционалов вариационных задач. Разработан метод градиентного типа численного решения вариационных задач. Приведены результаты численного моделирования прямой задачи. Приведены результаты численного моделирования обратных задач. В третьей главе разрабатывается метод квазиобращения решения рассматриваемых обратных задач. Исходная некорректная обратная задача сводится к некоторой прямой возмущенной задаче добавлением в уравнение для температуры оператора более высокого порядка дифференцирования с некоторым малым параметром. Проведена серия численных экспериментов для демонстрации работы алгоритмов численного решения об ратной задачи. Разработан метод квазиобращения решения обратных задач в прямоугольной области. Описана численная схема решения возмущенной задачи. Приведены результаты численного моделирования обратных задач. В приложении приведено описание и листинг разработанного комплекса программ, позволяющего численно решать рассматриваемые прямые и обратные задачи. По теме диссертации опубликовано работ: [, , , ] в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК, [-, -, ] в материалах всероссийских и международных конференций. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби», посвященном -летию академика А. И. Субботина (Екатеринбург, ); на Международной конференции «Тихонов и современная математика: Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва. III и IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау — Дюрсо, , ); на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной 0-летию со дня рождения В. К. Иванова (Екатеринбург. Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, ). Основные результаты также докладывались на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН, в Уральском государственном университете им. А.М. Горького на семинаре кафедры вычислительной математики. Глава 1. В этой главе сформулирована обратная задача восстановления граничных режимов в стационарной модели естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Эта задача относится к классу обратных граничных задач [5, 6, ]. Достаточно часто решение и исследование обратных задач напрямую связано с решением и исследованием соответствующих прямых задач. Б связи с этим дается формулировка и проводится исследование соответствующей прямой задачи. В некоторой области П С 1&п,тг = 2,3, с границей Г = Гр и Г]у, тезГп > О, Г г) Г) Гдг = 0, рассматривается движение высоковязкой несжимаемой теплопроводной ньютоновской жидкости, находящейся в ноле силы тяжести иод воздействием некоторого внешнего теплового режима. Математическая модель установившегося движения такой жидкости представлена следующей обезразмеренной краевой задачей в приближении Буссинеска [, гл. Т = Т(х) — температура; V = у{х) и и; = у){х) — заданные температурные режимы на Г о и Гдг соответственно; Ка — число Рэлея, куда входит вязкость; п — единичный вектор внешней нормали к Г; еп — орт оси хп.