Метод конечных объемов для задачи конвекции-диффузии и моделей двухфазных течений

• Автор: Никитин, Кирилл Дмитриевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение

Обзор используемой терминологии .

Глава 1. Монотонная консервативная схема для задачи конвекциидиффузии

1.1. Стационарное уравнение конвекциидиффузии.

1.2. Монотонная нелинейная схема конечных объемов на сетках с

многогранными ячейками.

1.3. Сеточная система и свойства дискретного решения.

1.4. Численные эксперименты

Глава 2. Численная модель двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде

2.1. Уравнения двухфазной фильтрации.

2.2. Схема, неявная по давлению, явная но насыщенности ШРЕЭ
2.3. Полностью неявная схема.
2.4. Схемы дискретизации потоков.
2.5. Численные эксперименты
Глава 3. Численная модель течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью.
3.1. Математическая модель.
3.2. Численное интегрирование по времени.
3.3. Пространственная дискретизация на адаптивных сетках
3.4. Численные эксперименты
Заключение.
Литература


Такие осцилляции могут возникать в задачах с доминирующей конвекцией в пограничных и внутренних слоях, а также в задачах с доминирующей диффузией на неортогональных сетках и в случае сильно анизотропной среды. В методах конечных элементов распространенным способом подавления нефизичных осцилляций является метод SUPG (Streamline Upwind / Pet-rov-Galerkin) []. Однако, осцилляции все равно могут появляться при решении задачи методом SUPG. Методы, уменьшающие нефизичных осцилляции, (SOLD - Spurious Oscillations at Layers Diminishing) [] являются обобщением метода SUPG и удовлетворяют дискретному принципу максимума, по крайней мере, на некоторых модельных задачах. Для дискретизации конвективных потоков можно использовать проти-вопотоковую аппроксимацию, контролируемую через ограничение наклона [, , ] или внесение искусственной вязкости [, ]. Метод основан на идее монотонной противопотоковой схемы для законов сохранения (MUSCL - Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws) |) и использует кусочно-линейное разрывное восполнение с ограничителем наклона [] для решения на многогранных ячейках. Суть линейного восполнения заключается в том, что на каждой ячейке восстанавливается линейная функция, которая минимально отклоняется от значений в заданных точках и при этом отвечает условиям монотонности схемы. Для дискретизации диффузионного потока применяется нелинейная двухточечная дискретизация потока на многогранных ячейках, предложенная в []. Идея монотонного метода конечных объемов для параболических уравнений на треугольных сетках предложена К. ЛеПотье в []. В дальнейшем метод был распространен на более широкий класс сеток и уравнений [1, 6, , ] и требовал интерполяции решения с основных переменных, определенных в ячейках, па вспомогательные переменные, определенные в узлах сетки. Использование интерполяции влияет на точность решения, а также на скорость итерационного решения нелинейной системы. Была разработана двумерная схема, независящая от интерполяции [], которая впоследствии была расширена на трехмерный случай в []. Последняя схема формально не является безинтерполяционной и может потребовать интерполяции для небольшого числа вспомогательных переменных. Тем не менее, это не влияет на свойства схемы, поскольку большая часть интерполяций выполняется на основании физических принципов, таких как непрерывность полного потока па гранях сетки, по которым идет разрыв тензора диффузии. Предлагаемый метод конечных объемов точен на линейных решениях. Благодаря этому на задачах с гладким решением можно ожидать второй порядок сходимости в сеточной ? Двухточечная дискретизация потока привлекательна с технологической точки зрения благодаря компактности получаемого шаблона дискретизации и формированию разреженной матрицы даже на сетках С‘многогранными ячейками. Отметим, что для задачи диффузии с диагональным диффузионным тензором па кубических сетах шаблон сводится к традиционному семиточечному шаблону. При использовании нелинейного метода конечных объемов, возникает необходимость решать системы нелинейных уравнений. Для решения последних используется метод последовательных приближений (метод Пикара), который гарантирует сохранение неотрицательности решения на каждом шаге. Использование метода Пикара повышает вычислительную сложность нелинейного метода конечных объемов по сравнению с линейным, поскольку требует решения нескольких систем линейных уравнений вместо одной. Па основании предложенных схем дискретизации диффузионного и конвективного потоков строится численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде (5, , , , ]. Для дискретизации но времени используются два наиболее популярных метода: метод, неявный по давлению, явный по насыщенности (ШРЕБ-метод) и полностью неявный метод. Оба метода подразумевают использование дискретизации диффузионного потока Дарси на гранях ячеек. Стабилизация схемы осуществляется путем использования про-тивопотоковой аппроксимации для значений насыщенности на гранях. Для сохранения второго порядка значения на гранях вычисляются на основании линейного восполнения с ограничителем наклона, аналогичного тому, который разработан для конвективного потока в первой главе диссертации.