Математическая модель нечеткой линейной регрессии по Чебышеву

• Автор: Пономарев, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 129 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Нечеткая линейная регрессия

1.1 Стандартная модель линейной регрессии.

1.2 Теория нечетких множеств

1.2.1 Нечеткие числа

1.3 Нечеткий регрессионный анализ.

1.3.1 Нечеткий метод наименьших квадратов

1.3.2 Двойная адаптивная модель нечеткой линейной регрессии

1.3.3 Модель Танака

1.3.4 Расширения модели Танака.

2 Нечеткая модель линейной регрессии по Чебышеву
2.1 Определения и обозначения.
2.2 Основные результаты
2.2.1 Коэффициент корреляции Дрегрессии .
2.2.2 Сравнение нечеткой и стандартной линейной регрессии
2.2.3 Экспсриментальное моделирование нечеткой и стандартной линейной регрессии
2.2.4 Алгоритмы нахождения ттьЗ5 Ь .
3 Выбросы нечеткой линейной регрессии
3.1 Выбросы в регрессионных моделях.
3.1.1 Я статистика Стыодсита
3.1.2 Расстояние Кука
3.1.3 АР статистика
3.2 Программный комплекс в системе МаЪЬаЬ для исследования
выбросов
3.2.1 Выбросы в равномериоиечеткой регрессионной модели .
3.2.2 Выбросы в стандартной Ь2 регрессионной модели .
3.2.3 Выбросы в стандартной Ь регрессионной модели .
3.3 Нечеткие функциональные отношения.
3.3.1 Алгоритм Гаусса для решения нечеткой системы отношений
3.3.2 Система нечетких отношений равенств в банаховом пространстве
Заключение
Литература


Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 1-р_сибирь_а), а также при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на - гг. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, в том числе 1 статья в издании рекомендованном ВАК. Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего наименование. Общий объем диссертации составляет 9 страниц, включая рисунка и 5 таблиц. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем, приводятся основные результаты работы. Первая глава диссертации посвящена введению в теорию нечетких множеств, обзору методов и алгоритмов построения линейных регрессионных моделей, основанных на использовании теории нечетких множеств, исследованию геометрических интерпретаций. Определение 1. Нечетким множеством А называется мно'жество пар {(. X, а Ра{%) ~ функция принадлеотпости, р. X —> [0,1]. Функция Ра(х) показывает степень принадлежности элемента а: множеству А, для обычного (четкого) множества функция Ра(х) принимает только два значения {0,1}. Определение 2. Нечетким числом В называется нечеткое мпоэюество, определенное па множестве всех действительных чисел, функция припад-леэ/сиости которого рр(х) является унимодальной. Определение 3. А, и; - ширина нечеткого числа А. У = АХц 4-. SiJWj ширина носителя нечеткого числа. Евклида между нечеткими числами. Определение 4. Пусть А = (та,ай) и В — (т. В = у/(та - тпьУ 4- ((ха - (хь)2. Тогда для модели (3. Определение 5. С, IV - параметры; У - прогнозное значение зависимой переменной. У = (иц,. С = (сь. X = (а? Х| = (|гс,. X2 _ транспонирование. С = (ХТХ)~1ХТу, IV = (ХтХ)-'Хт8. Отметим, что модальные значения зависимой переменной для данной модели совпадают с классическим решением по методу наименьших квадратов. У, = (у>, Si) = (с|2,1 + . Данный функционал минимизируется стандартными дифференциальными методами. Одной из первых моделей нечеткой линейной регрессии, методы построения которой значимо отличались от классических, была модель Танака []. В главе 1 подробно исследуется модель Танака. Определение 6. A(C,W)= min {? I ,. Это позволяет свести задачу к задаче линейного программирования 5« = min ? Х>(|х^| > у,, j = l,. CiXij - (1 - а) ? Wixij| < у,, j = 1,. IK > О, С е Rk, j = 1,. Величина а здесь выступает в роли параметра. Решение поставленной задачи линейного программирования существует при 0 < а < 1. В эквивалентной постановке задачу (3. Sa = min {А (W) : ЗС [а < Л (С, W) < 1]} . Теорема 1. До > min Е Уз ~ Е CiXij ! Вторая глава посвящена построению и исследованию нечеткой математической модели парной линейной регрессии по Чебышеву. Дается геометрическая интерпретация данной модели, ее сравнение с моделью Танаки, а также со стандартной моделью линейной регрессии. Исследуется вычислительная сложность построения нечеткой модели линейной регрессии. Указываются эффективные алгоритмы решения. Ф - нечеткая числовая функция из некоторого семейства Ф, описывающего данную модель, то есть аргументу х сопоставляется нечеткое числовое значение А = / (х). Наблюдаемое значение гл € Я соответствующее XI € Я будем рассматривать как дефаззификацию нечеткого числа Д, Цл^н) ~ степень достоверности этого наблюдаемого значения. Теорема 2. Онределение 7. А = f(x). Функция /о принадлежит некоторому фиксированному семейству ф() числовых функций. Vi. Фо t=l,. Константу о определяем из условия нормировки достоверности модели, например у> (? Для линейной регрессии семейство Фо состоит из линейных функций вида у = kx + b. Ь i=l,. X = {хих2, . Y = (Уь 2/2, ¦ • ¦ ,2/«} е Rn. Геометрически данная задача сводится к нахождению полосы, заключенной между двумя параллельными прямыми минимальной вертикальной ширины, т. Vi) :г = 1,. Замечание 1. Будем называть регрессию, основанную на норме (1. Ьоо-регрессией. Таким образом модель нечеткой линейной регрессии по Чебышеву с математической точки зрения эквивалентна линейной L^-регрессии.