Математические модели возмущенного движения высокого порядка точности

• Автор: Латыпов, Виктор Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Модели космической динамики и динамики пучков заряженных частиц

1.1 Орбитальное движение спутника

1.1.1 Уравнения движения в прямоугольной системе координат .

1.1.2 Численное интегрирование уравнений движения . .

1.2 Движение спутника относительно центра масс.

1.2.1 Уравнения движения.

1.3 Управление ансамблями заряженных частиц.

1.3.1 Траектории заряженных частиц в линейном ускорителе

1.3.2 Решение задач оптимального управления

1.3.3 Динамика ансамбля заряженных частиц
1.3.4 Использование генератора программ
2. Решение задачи Коши для полиномиальных ОДУ
2.1 Пошаговые методы интегрирования
2.2 Полиномиальные системы.
2.2.1 Полиномиальные уравнения и определяемые ими
функции
2.2.2 Метод дополнительных переменных
2.2.3 Примеры полиномиальных систем
2.3 Метод рядов Тейлора
2.3.1 Рекуррентные формулы.
2.3.2 Оценки погрешности, выбор шага.
2.3.3 Вложенные методы рядов Тейлора
2.3.4 Параллельное вычисление коэффициентов
2.4 Метод малого параметра
2.4.1 Метод разложения по параметру
2.4.2 Рекуррентные формулы коэффициентов ряда
2.4.3 Квазилинейные полиномиальные системы.
2.4.4 Оценка погрешности.
3. Реализация численных методов решения задачи Коши
3.1 Вопросы реализации алгоритмов.
3.1.1 Арифметика произвольной точности.
3.1.2 Вычисление элементарных функций
3.1.3 Тригонометрические ряды
3.1.4 Вычисление сумм
3.2 Генератор программ
3.2.1 Структура программного комплекса.
3.2.2 Подготовка описания системы уравнений
3.3 Примеры задач.
3.3.1 Система ЛоткиВольтерра
Заключение
Литература


В настоящей работе предлагаются новые алгоритмы и программы для построения различных динамических моделей, основанных па системах обыкновенных дифференциальных уравнений и возникающих при изучении различных механических, биологических и электродинамических систем. Под построением модели понимается составление эффективных вычислительных процедур, реализующих методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (второй и третий этапы процесса моделирования). Автоматизация заключается в создании программного комплекса, генерирующего упомянутые вычислительные процедуры на основании предоставленных пользователем уравнений движения. Например, задавая определённым образом уравнения орбитального или вращательного движения искусственного спутника, в результате работы рассматриваемого далее генератора программ пользователь получает исходные тексты вычислительных процедур для пошагового интегрирования па языках высокого уровня (С/СЧ-+, РоИгап-). Полученные вычислительные процедуры, в свою очередь, могут стать составной частью некоторого программного комплекса, предназначенного для решения прикладных задач динамики. Весь процесс получения вычислительной процедуры начинается с преобразования исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее — ОДУ) по определённому алгоритму, рассматриваемому в данной работе, к системе, правые части которой являются алгебраическими полиномами (так называемые полиномиальные дифференциальные уравнения). Построение приближенного решения задачи Коши для полиномиальных систем может быть получено численными и аналитическими методами, обоснование и обсуждение вопросов практического применения которых приводится далее. Общность предлагаемых методов пошагового интегрирования позволяет унифицировать и автоматизировать процесс получения вычислительных процедур и почти полностью избавляет пользователя от необходимости программировать. Эффективность предлагаемых приближенных методов демонстрируется на нескольких примерах систем ОДУ путём сравнения сгенерированных вычислительных процедур со стандартными реализациями других численных методов по времени выполнения и величинам погрешностей. Возможности практического применения предлагаемого программного комплекса демонстрируются на примерах конкретных задач астродинамики и динамики пучков заряженных частиц. Универсальные подпрограммы, реализующие конкретный метод на конкретном языке программирования. Системы автоматического построения вычислительных процедур, генерирующие по аналитическому описанию системы ОДУ подпрограмму, которая реализует некоторый метод интегрирования. Каждый из классов средств имеет свои преимущества и недостатки. Универсальная подпрограмма представляет собой многократно проверенный и оптимизированный для максимальной скорости исполнения фрагмент программного кода на конкретном алгоритмическом языке, но такие стандартные подпрограммы часто требуют модификации для решения определённых задач. Набор процедур, реализующих различные модификации методов Рунге—Кутты, содержится в дополнениях [] к книгам [, ]. Для доступа к возможностям вычислительных пакетов приходится использовать специальные программные интерфейсы и большое количество вспомогательных данных, что неизбежно приводит к снижению производительности и усложнению программы. С появлением языков программирования высокого уровня задача реализации различных вычислительных алгоритмов существенно облегчилась. В свою очередь, с развитием различных техник программирования появилась возможность оперировать не только с числовым, но и с аналитическим представлением математических задач. Так называемые «символьные вычисления» («computer algebra» в англоязычных работах или «calcul formel» во французской литературе) сегодня являются неотъемлемым элементом исследования математических моделей [‘, 4. Системы компьютерной алгебры и отдельные программные библиотеки реализуют функции преобразования формул (символьное вычисление неопределённых интегралов, решение алгебраических уравнений, упрощение выражений). Одновременно е автоматизацией некоторых аналитических преобразований достаточно широко применяется автоматическая генерация фрагментов программ.