Исследование граничных задач с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов

• Автор: Провоторов, Вячеслав Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 447 с. : ил.

Введение
Глава 1. Граничные задачи с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов.

1.1. Основные положения и понятия

1.2. Граничные задачи математических моделей процессов

в сетеподобиых конструкциях

1.3. Краткий обзор результатов .

Глава 2. Обоснование метода Фурье для анализа граничных задач на графах при исследовании математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов.

2.1. Системы на простейших графах

2.2. Системы на графезвезда

2.3. Системы с особенностью на графезвезда.

2.4. Методсклейки базовых решений уравнения на графедерсво. Составные звезды

2.5. Системы на графедерево .
2.6. Системы на графе с циклом .
Выводы .
Глава 3. Идентификация теплофизических и упругих характеристик сетеподобных конструкций промышленных объектов.
3.1. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа простейшего графа
3.2. Определение теплофнзических и упругих свойств промыш
ленных конструкций типа графазвезда .
3.3. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа графацепочка.
3.4. Алгоритмы определения теплофизических и упругих СВОЙСТВ сетеподобиых конструкций промышленных объектов .
Выводы
Глава 4. Разностные схемы на сетке графа для граничных задач математических моделей процессов сетеподобных конструкций.
4.1. Собственные числа и собственные векторы конечноразностных аналогов дифференциальных операторов математических моделей на сетке графа.
4.2. Аппроксимация граничных задач математических моделей конечноразностными аналогами на сетке графа
4.3. Анализ свойств разностных схем математических моделей .
4.4. Вычисление границ спектра положительной матрицы разностной схемы математической модели. Алгоритм вычисления границ спектра
Выводы
Глава 5. Анализ граничных задач математических моделей тепловых и волновых процессов в сетеподобных констручсциях промышленных объектов
5.1. Граничные задачи математических моделей теплофизнческих процессов в материалах с контролируемым температурным режимом
5.2. Граничные задачи математических моделей колебаний . мачтовых антенных конструкций
Выводы
Глава 6. Решение прикладных задач технической теплотехники и упругости промышленных объектов сетеподобной структуры
6.1. Нагрев металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками в проходной многозонной печи. Алгоритм решения задачи.
6.2. Задача успокоения непрерывно распределенной колеблющейся среды .
6.3. Задача гашения колебаний мачтовых антенных
конструкций
6.4. Вычислительные аспекты исследований колебательных процессов сетеподобных промышленных конструкций. Алгоритмы решения задач .
Выводы
Заключение
Список литературы


Далее рассматриваются вопросы спектральной полноты и базпсиостп в пространстве функций с интегрируемым квадратом З достаточно часто используемое в инженерной практике пространство системы собственных функций, приводятся условия, непосредственно реализуемые в прикладных задачах, разложимости заданной функции изменяющаяся величина, наблюдаемая посредством датчиков в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям, что является обоснованием метода Фурье для граничных задач на графах утверждения теоремы 2. Системы на простейших графах. Такие краевые задачи порождаются эволюционными процессами, математические модели которых, как уже было сказано в п. При этом периферийные компоненты датчиков в точке их установки либо влияют на тепловой поток, проходящий через эту точку, формируя его скачок пропорциональный значению температуры в точке эффект неоднородности среды и разрывности теплофизических коэффициентов, либо дают аналогии с помещенными в упомянутых точках сосредоточенных теплоемкостях и теплообмен с внешней средой происходит по закону Ныотона эффект тела с большой теплопроводностью в местах установки датчика. Мы будем рассматривать краевые задачи соответствующие обоим случаям. Пусть многообразие Г простейший геометрический граф с ребрами 7 к га и узлами с 0, га узлы Со, граничные, А 1,га 1 внутренние. Каждое ребро 7 ориентировано к узлу и параметризовано отрезком к 1тгг,с7гш к 1 ,га узлам А О. О.т. Множества функций СГ, СГ, С2Г введены в разделе 1. Уу фтъУъ , X 6 7к, к тт, 2. Щу у0ъ ку0ъ 0, Уу уг,ъ Нутг7т 0, 2. Л спектральный параметр , Я 0 вещественные веществениозначиая функция дх С Г. Соотношения 2. Г, спектральную задачу 2. Лемма 2. Многообразие решений ух уравнения 2. Г двумерно. Доказательство. Пусть функции ц. Л е 9 произвольное решение уравнения 2. Включение у х, Л связывает эти постоянные соотношениями, образующими систему линейных алгебраических уравнений относительно с 1, с2 1,7г
г7 С2кхг Лг, . ИЗ которой, очевидно. ЧТО все постоянные 1, 2 к 2,7. С, т. Лемма доказана. Предварительно изучим свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи 2. V 0, 2. В дальнейшем нам потребуется следующая теорема Э. Ч.Титчмарша 7 Теорема 2. Для любого а существует единственное решение x,X е 0, тт П С,тг уравнения 2. Л i , О, Л а. Для каждого фиксированного х Е 0, тт функция x, является г,елой аналитической функцией от А. Следствие. Теорема 2. Доказательство следствия на каждом ребре 7. Л в узле осуществляют переход от ребра 7 к последующему ребру . А г, 7Г,А 1, тг, А II. Л, Ф2 х, Л являются целыми аналитическими функциями по Л. Очевидно, что и Ф О, V ф2 0. Д А и Ь2 при х тг Д А V ф. Согласно формуле ОетроградскогоЛиувилля вронскиан фх, А, ф2х, А не зависит от х на каждом ребре 7 к 1. Функция Д А является целой но А и имеет не более счетного числа нулей Ап. Обозначим Ь у у у х у, у х Оператор Ь будем называть оператором ШтурмаЛнувплля на простейшем графе Г. Лемма 2. Доказатяъство. Представим интеграл в левой части формулы 2. Нх, 2хх
учитывая соотношения 2. Тг2 . Соотношение 2. Лагранжа на простейшем графе Г. Приведем далее несколько вспомогательных утверждений. Теорема 2. Нули Ап функции А А совпадают с собственными значениями краевой задачи 2. А, 0гх, Ап являются собственными функциями краевой задачи 2. Хп РпФх а Хп, Зп ф 0. Доказательство. Пусть А0 нуль А А. Тогда в силу представления А А в точках х 0, х 7Г, ф2 х, А0 Аз х, А0 и функции 0г х, А0, х, А0 удовлетворяют краевым условиям 2. Ао соответствующее собственное значение. Обратно, пусть теперь Ао собственное значение краевой задачи 2. Тогда она удовлетворяет краевым условиям 2. Ф 0 иначе у0 0 0 и у о жг 0. Можно считать, что уо0 1, следовательно, у0 х к, а тогда уо ж ф ж, Ао п, значит, А А0 V ф V у0 0. Обозначим ф х, А с1х. Теорема 2. Пусть Хп собственное значение краевой задачи 2. ААп 0пьп 2. Доказательство. Пусть А собственное значение краевой задачи 2. Возьмем произвольное А из окрестности Ап . Формула Лагранжа 2. Д1 лп У Лпф2 я, А дх рпип. Следствие. Пули функции АА являются простыми, что непосредственно вытекает из представления АА 2. Теорема 2. Аип0 и собственные функции 1 а, Ал0, Ф2 х, Ап0 краевой задачи 2.