Математическое моделирование квантовых волноводов с локальными возмущениями

• Автор: Гаврилов, Максим Иванович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 133 с.

Содержание
Введение

Глава I. Обзор литературы

1. Основы квантовых вычислений .

2. Транспортные свойства электрона в наноструктурах.

3. Теория рассеяния.

4. Метод согласования асимптотических разложений .

5. Метод конечных элементов.

6. Метод Хартри для многочастичных квантовых задач

Глава II. Асимптотика резонанса и задача рассеяния плоских волноводов, связанных через отверстия.

1. Теорема о существовании резонанса

2. Асимптотическое разложение резонанса для случая конечного
числа отверстий
3. Обоснование асимптотических разложений.
4. Периодическая система соединяющих отверстий
5. Задача рассеяния в системе с п соединяющими отверстиями . .
Глава III. Одночастичная задача в системе связанных
волноводов
1. Расчет связанных состояний.
2. Математическая модель задачи рассеяния.
3. Задача рассеяния без внешнего электрического поля
4. Задача рассеяния при внешнем электрическом поле
Глава IV. Задача об искривленном волноводе
1. Математическая модель искривленного волновода
2. Одночастичная задача для искривленного волновода.
3. Двухчастичная задача дня искривленного волновода.
Глава V. Схемы квантовых вентилей
1. Интерпретации кубитов
2. Волноводная интерпретация кубита
3. Спиновая интерпретация кубита
Заключение.
Литература


Последнее время есть основания полагать, что при таком переходе увеличиваются вычислительные возможности, так, например, для классических компьютеров неизвестен полиномиальный алгоритм разложения числа на множители, в то время как для квантовых такой алгоритм существует (алгоритм Шора []). Идея построения квантового компьютера была впервые предложена в году советским математиком Ю. Маминым [. П.Бсниоф [6] и Нобелевский лауреат Р. Фейнман |]. Классический бит информации представлен бинарным элементом памяти, который может находиться в одном из двух хорошо различимых состояний 0 или 1. Таким образом, при работе с п битами, требуется п бинарных элементов, а система сможет находиться в любом из 2п различимых состояний. Элементы классической информации, сколь бы маленькими они ни были, являются «макроскопическими» объектами, так, например, можно создавать их копии произвольное число раз. В отличие от бита, квантовая единица информации («кубит» []) представляет состояние микроскопической квантовой системы. Эту когерентную суперпозицию состояний невозможно отличить от базисных состояний, так как при любом измерении мы можем получить лишь |0) или |1). Однако вероятность того, что в результате измерения мы получим |0) равняется |а|2 (при условии абсолютно точного измерения без погрешностей), а вероятность получения |1) — /3 . Измерение суть проектирование кубита на ортоиормированный базис его состояний. Для кубита существует довольно простая геометрическая интерпретация в пространстве состояний. Так как а и ft - два комплексных числа, в силу условия нормировки независимыми являются три действительных параметра, а с учетом того, что квантовое состояние определяется с точностью до множителя, равного единице, остается только два параметра и (1. В этом случае квантовая система находится в сочетании нескольких (или даже всех) возможных базовых состояниях. В классической системе из п частиц их пространства состояний соединяются декартовым произведением, в то время как квантовые состояния соединяются тензорным произведением. Именно этот экспоненциальный рост пространства состояний в зависимости от числа частиц дает так называемый квантовый параллелизм. Таким образом, каждая суперпозиция базовых состояний может восприниматься как один-единственный аргумент для функции. Функция же, в свою очередь, воздействует на всю суперпозицию и за «один» раз вычисляет результат от каждого аргумента. Однако, несмотря на это, воспользоваться таким параллелизмом сложно, поскольку после измерения любого кубита, результат функции «теряется». Поэтому, чтобы «применять» параллелизм, необходимо в конце узнавать общее состояние системы, а не информацию о конкретном кубите. I Флв) = № + |6|2 + с2 + |d|2 = 1. IФлв) ф (ал |0л) -f Ьа 1а)) ® (фв |0д) + Ьв |1д})> такое состояние называется запутанным. Таким образом, при взаимодействии кубитов А и В между ними возникает нелокальная корреляция, которая имеет принципиально квантовый характер. Это свойство квантовых состояний называется запутыванием. В частности, пары элементов, находящихся в запутанном состоянии с b = с = 0 и а = d = называется двухкубитовым состоянием «шредингеровского кота», аса = с? EPR-парой. Характерной особенностью запутанных состояний является то, что для их создания необходимы нелокальные унитарные преобразования, действующие одновременно на несколько кубитов системы. Эта квантовая корреляция, возникнув благодаря некоторому взаимодействию, сохраняется и тогда, когда это взаимодействие исчезает. Хорошей абстракцией для описания квантового компьютера служит квантовая машина Тьюринга, однако поскольку большинство решений задач удобно записывать в виде схем, состоящих из гейтов, то важное значение имеет результат Andrew Yao, который в году доказан эквивалентность между квантовыми схемами и квантовой машиной Тьюринга (КМТ) []. Он показал, что дня любой функции, вычисляемой за полиномиальное время, на КМТ существует квантовая схема полиномиального размера и наоборот. Этот результат стал теоретическим обоснованием для записи и исследования квантовых схем, которые являются главным способом представления квантовых алгоритмов.