Численные методы решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца

• Автор: Павельчак, Иван Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Содержание
Введение

Обзор литературы

Глава 1. Задачи определения источника возбуждения

1.1. Математические модели возбуждения сердца. Численные методы их решения

1.2. Обратная задача определения локализованного начального условия.

1.3. Обратная задача определения функции источника в уравнении

1.4. Обратная задача определения начального возбуждения, рассматриваемая в двух областях

Глава 2. Задачи определения параметров моделей

2.1. Обратная задача поиска параметров моделей

2.2. Обратная задача поиска области, потерявшей способность к возбуждению .

Глава 3. Программный комплекс
3.1. Программы решения прямых задач для моделей возбуждения сердца
3.2. Программы решения задач определения локализованного источника возбуждения
3.3. Программы решения обратных задач определения параметров моделей.
Заключение
Литература


Электрофизиологиче-ские процессы в сердечной мышце характеризуются изменением во времени трансмембранного потенциала. Для описания процесса возбуждения сердца в терминах трансмембранного потенциала предложен ряд математических моделей, см. Широкое распространение получили монодоменные модели, представляющие собой начально-краевые задачи для квазилинейных эволюционных систем уравнений в частных производных, рассматриваемых в областях с достаточно сложной геометрией [2]. К числу монодоменных моделей относятся модели Фитц-Хью- Нагумо [3-5] и Алиева-Панфилова |б], активно используемые для анализа различных процессов возбуждения сердца. Важным направлением в применении математических методов и компьютерных технологий в кардиологии является разработка численных методов и программного обеспечения для решения различных задач диагностики заболеваний сердца. Многие методы вычислительной диагностики базируются на решении обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Разработка численных методов решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца, их программная реализация и применение в электрофизиологии сердца безусловно являются актуальными. Научная новизна. Рассмотрены новые постановки обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Разработаны численные методы решения поставленных обратных задач. Создан программный комплекс, реализующий предложенные численные методы. Проведены численные эксперименты, показавшие достаточно хорошую точность решения обратных задач гт редложе и н ы м и м етодам и. Практическая значимость. Предложенные численные методы и созданный комплекс программ могут быть использованы для разработки методов и средств диагностики кардиологических заболеваний. Апробация работы. V международной конференции "Математические идеи П. Тихоновские чтения "(Москва, МГУ им. М.В. Институте проблем передачи информации им. A.A. Ломоносовские чтения"(Москва, МГУ им. М.В. Обратные задачи математической физики "под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, A. B. Тихонравова и А. Г. Яголы в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ им. М.В. ВМиК МГУ мм. М.В. Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах. ВАК [7-|, 2 статьи [, ) и 2 тезиса докладов [, ). Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации страница, из них страницы текста, включая рисунков. Библиографии включает наименования на 7 страницах. Методы математического моделирования электрических процессов, происходящих в тканях живых организмов, начали развиваться во второй половине XX века. В году Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли была предложена модель, описывающая процессы генерации и передачи электрических сигналов в гигантских аксонах кальмара. С тех пор было предложено много моделей, описывающих процессы электрического возбуждения как на клеточном уровне, так и на уровне ткани. Эти модели можно разделить на несколько категорий. Первую категорию представляют модели ионных токов. К ним относятся модель Ходжкина-Хаксли [-) и некоторые её модификации []. В них описываются процессы течения ионных токов (Са+, К+) через клеточные мембраны. Они включаются в себя большое количество переменных и параметров. Модели ионных токов содержат большое количество уравнений и имеют очень высокую вычислительную сложность. Во вторую категорию входят эйкональные модели [). Они очень просты и описывают только время, за которое деполяризационная волна распространяется от одной точки пространства до другой. Эти модели не дают достаточно точного описание процессов реакций, происходящих при электрическом возбуждении тканей. Третью категорию образуют феноменологические модели, описывающие возникновение потенциала действия и его распространение вдоль клеточных мембран. Эти модели делятся на монодоменные. В моделях ионных токов внутри- и внешнеклеточные потенциалы считаются определенными на непересекающихся областях, разделенных клеточными мембранами.