Математическое моделирование некоторых колебательных процессов в среде со случайными возмущениями

• Автор: Захарова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Постановка задачи

1.1 Колебания численности взаимодействующих популяций,

находящихся под воздействием случайных возмущений

1.2 Колебания концентраций реагирующих химических веществ в

среде со случайными внешними возмущениями

1.3 Колебания упругой струны и мембраны под действием

случайной внешней силы

2 Разработка аналитического аппарата, необходимого для решения поставленных задач

2.1 Необходимые сведения

2.1.1 Стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения.
2.1.2 Симметричный интеграл как обобщение стохастического интеграла Стратоновича. Детерминированные аналоги стохастических дифференциальных уравнений
2.2 Решение стохастических дифференциальных уравнений
и систем с многомерным винеровским процессом и их детерминированных аналогов.
2.2.1 Явные формулы для решения одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений
2.2.2 Явные формулы для решения стохастических интегральных уравнений типа Вольтерра
2.3 Об одном классе уравнений с симметричным интегралом
2.3.1 Аналог формулы Даламбера для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы.
2.3.2 Аналог формулы Кирхгофа для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы.
2.3.3 Первая краевая задача для стохастического дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа
3 Численноаналитическое решение и моделирование
исследуемых процессов
3.1 Моделирование траектории винеровского процесса
3.2 Числетшоеаналитическое решение модели колебания концентраций двух реагирующих химических веществ численности двух конкурирующих видов в среде со случайным внешним возмущением.
3.3 Численноаналитическое решение модели колебания закрепленной упругой струны иод действием случайной внешней силы .
3.4 Численноаналитическое решение модели колебания закрепленной упругой мембраны под действием случайной внешней силы
Заключение
Список литературы


Хотя теория обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений разработана достаточно полно, явные формулы для решений известны лишь применительно к достаточно узкому классу уравнений 1, 5, . В работах 5, рассматриваются такие вероятностные методы решения СДУ как преобразование сноса и случайная замена времени. Суть этих методов заключается в преобразовании исходного вероятностного пространства. При этом на исходное пространство и на само уравнение накладываются дополнительные условия, что значительно сужает область применения таких методов для решения. В году Е. М. в работе формально решает уравнение вибрации струны под действием белого шума, используя стохастические интегралы по броуновскому движению, и показывает, что определенный таким образом процесс является мартингалом. Такое ограничение обеспечивает решение краевой задачи для классического гауссовского стационарного процесса, который может быть представлен как линейный функционал от положений скорости струны. Позже Е. С. , . Были получены необходимые и достаточные интегральные условия на функцию ковариации шума для решения линейного уравнения в виде вещественнозначного стохастического процесса. Было показано, что когда это условие выполнено, не только линейное, но и нелинейное уравнение имеет такое вещественнозначное решение. Первые работы, посвященные численным методам решения СДУ. XX столетия. Одним из первых в году исследовал, обосновал среднеквадратическую сходимость и использовал метод Эйлера применительно к СДУ . Позже, в годах в работе . В. . О. и . Л. i показали, что не любые эвристические обобщения хорошо известных численных методов применительно к СДУ сходятся к решениям последних. Для численного решения стохастических дифференциальных уравнений существует общий метод Быоси , посредством которого может быть исследован, в принципе, широкий класс стохастических систем с использованием метода МонтеКарло. Этот метод, в силу большой общности, недостаточно эффективен для численного решения СДУ, поскольку он ориентируется на общие свойства стохастических систем и не учитывает специфическую структуру стохастических дифференциальных уравнений, характеризуемую их коэффициентами сноса и диффузии. Другой известный численный подход Г. Дж. Кушнера основывается на дискретизации как временной переменной, так и пространственных переменных. В резуль1ате этого случайные процессы превращаются в цепи Маркова с конечным числом состояний. При численной реализации этого метода приходится иметь дело с матрицами перехода цепей Маркова, что приводит к значительным вычислительным затратам. Д. Ф. Кузнецов в монографии строит явные и неявные сильные одношаговые и двухшаговые численные методы для решения СДУ и систем таких уравнений. В работе также представлены результаты численного моделирования решений систем СДУ, описывающих различные физические, биологические, химические и др. ЛоткиВольтерра. В работе Д. Ф. Кузнецова используется подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений, который основан на конечной дискретизации временного интервала и численном моделировании решения СДУ в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных методах аппроксимации стохастических интегралов. Важней I ней особенностью стохастических аналогов формулы Тейлора является присутствие в них, так называемых, повторных интегралов Ито или Стратоновича, которые являются функционалами сложной структуры. Численное моделирование таких интегралов является сложной как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения задачей. Отмстим также работы , , , , в которых строятся модели различных процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, и приводятся конечноразностные схемы для их численного решения. СДУ, описывающие различные модели популяционной динамики, в частности стохастическую модель ЛоткиВольтерра методом МонтсКарлло. Во всех упомянутых выше работах методы для численного моделирования стохастических дифференциальных уравнений разработаны только для обыкновенных СДУ.