Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах

• Автор: Телегин, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 164 с. : ил.

1.1. Уравнения Ланжсвена. Стохастические дифференциальные уравнения.

1.2. Метод расчта корреляционных функций марковских случайных процессов.

1.3. Численный анализ стационарного броуновского движения в одномерных потенциальных ямах
1.4. Расчет одномоментной плотности вероятности и статистических средних нестационарного броуновского движения.

1.4.1 Плотность вероятности одномерного броуновского движения.

1.4.2 Дисперсия и мощность одномерного броуновского движения

1.4.3. Численное решение

1.5. Корреляционные характеристика периодически нестационарного броуновского движения
1.6. Примеры расчетов корреляционных функций периодически нестационарного броуновского движения.

1.6.1. Линейная стохастическая система

1.6.2. Бистабильная стохастическая система

1.7. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе.
Глава 2 Интегральные и дискретные модели стохастических колебаний
2.1. Интефальная модель осциллятора Дюффинга.
2.1.1. Интефальное уравнение движения нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы.
2.1.2. Алгоритм численного решения интегрального уравнения движения
2.1.3. Моделирование стохастических колебаний в осцилляторе Дюффинга
2.1.4. Усреднение в интсфальном уравнении движения
2.1.5. Режим установившихся детерминированных колебаний.
2.1.6. Перестраиваемый емкостью электрический вибратор как осциллятор Дюффинга.
2.2. Дискретный осциллятор Дюффинга динамические и хаотические режимы колебаний
2.2.1. Уравнение движения ДОД.
2.2.2 Частотные характеристики динамического режима колебаний ДОД.
2.2.3. Численный эксперимент по исследованию частотных характеристик дискретного осциллятора Дюффинга.
2.2.4. Гармонический анализ установившихся автоколебаний в ДОД
2.2.5. Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга
2.3 Механизм хаотизации колебаний ОМД.
2.3.1. ОМД аналоговая и дискретная модели
2.3.2. Резонансные характеристики ОМД
Глава 3. Стохастические процессы в моделях математической биологии
3.1 Модель системы хищникжертва с запаздыванием
3.1.1. Динамическая модель системы. Стационарные режимы и их устойчивость
3.1.2. Стохастическая модель.
3.1.3. Результаты численного эксперимента
3.2 Интефальная автоколебательная модель взаимодействий по схеме хищникжертва.
3.2.1. Стохастическая модель.
3.2.2. Результаты моделирования и сравнение с данными наблюдений.
3.3 Дискретная модель взаимодействий по схеме хищникжертва.
3.3.1. Уравнения движения системы в дискретном времени.
3.3.2. Стохастическая модель со случайным запаздыванием.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список использованных источников


При выполнении условия 1. Ланжевена 1. Кроме формы 1. Так как винеровский процесс недифференцируехМ дисперсия его производной равна бесконечности, то второй интеграл в правой части уравнения 1. ЛебегаСтилтьеса. Л ш,Нш1г0 0 МОЛ,. При этом предполагается, что на интервале 0, у равномерная временная сетка с узлами и, а значения параметра V находятся в интервале 0,1. Если выбрано значение у 0, то интеграл 1. Иго. Исторически это первый введенный в рассмотрение стохастический интеграл. При V 0,5 1. Стратоновича 2. В соответствии со смыслом стохастического интеграла определяется и смысл стохастического дифференциального уравнения 1. В этой записи используются стохастические дифференциалы сх и , по определению представляющие собой символические обозначения соответствующих интегральных соотношений. При любом смысле стохастического дифференциального уравнения 1. Теорема Дуба 3 утверждает, что его решение есть непрерывный марковский процесс. Если марковский процесс хГ подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению 1. Эта формула носит название формулы Ито 5, или формулы замены переменных в стохастическом интеграле Ито. Для детерминированных функций хг третье слагаемое в формуле 1. Поэтому стохастические интегралы и дифференциалы в смысле Ито нельзя преобразовывать по правилам математического анализа детерминированных функций. Сказанное справедливо для всех значений параметра у за исключением значения и 0,5. Это следует из выражения, являющегося обобщением формулы 1. Таким образом, стохастические интегралы Стратоновича подчиняются обычным правилам математического анализа. Это немаловажное обстоятельство во многом определяет их важную роль в физических приложениях. Действительно, реальные физические источники шума входящие в уравнение Ланжевена 1. Переход к белому шуму есть удобная идеализация, позволяющая придать последующим преобразованиям математическую строгость и получить значительное число достаточно общих результатов например, в теории непрерывных марковских процессов. Желательно, чтобы в процессе треугольного перехода и реальный шум белый шум сохранить правила и дифференцирования функций. А это как раз и обеспечивается использованием симметризованных стохастических интегралов интегралов Стратоновича. Поэтому далее везде мы будем рассматривать стохастические дифференциальные уравнения 1. Отметим, что стохастические дифференциальные уравнения Ито широко используются в математических исследованиях по теории случайных процессов 7 и в теории управления 8. Связь между стохастическими дифференциальными уравнениями двух основных типов Стратоновича и Ито устанавливается следующим образом. В СДУ Ито проще, чем в СДУ Стратоновича проводить статистическое усреднение. В частности СДУ 1. Выражения 1. СДУ к соответствующему уравнению Фоккера Планка. СДУ 1. Метод расчта корреляционных функции марковских случайных процессов. Марковские модели позволяют наиболее детально исследовать свойства и характеристики случайных процессов. Но и для них важную роль играют методы численного анализа. В настоящем сообщении описан метод вычисления корреляционной функции, времени корреляции и мощности марковского случайного процесса, основанный на численных решениях уравнения ФоккераПланка УФП. ОГГ. Корреляционная функция процесса определяется выражением
К0 хх0Жх0,0Жх0,1 х,1скс1ха. РУх0,01Ух0, I х,0Л 1. КГ0,О ,,0с. Нетрудно показать, что функция ,,0 также является решением УФП вида 1. Ах,1иВх,0и 1. Гх0. УФП первый раз УФП 1. УФП 1. Разумеется, речь идет о численных решениях. У а. V п 12,. Здесь Упг РР, или ЮГл 0 0 Л х,0 для уравнения 1. К0 для уравнения 1. А,0 Ахг, ВГ Вх,. Проблема бесконечности области значений аргумента х в исходных УФП решается путем введения отражающих границ в областях маловероятных значений случайного процесса. Отражающие границы в точках х X х0 пх Х хК позволяют замкнуть систему уравнений 1. УГ 2 2 У2гг ,У2 гг . В этом случае моментная функция 1. Глх9 1. УФП 1. С
Теперь по решению задачи Коши 1. Кт хЦх,тсЬс.