Циклы в нелинейных динамических системах. Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты

• Автор: Кудряшова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 156 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Задача Колмогорова о локализации и моделировании циклов двумерных квадратичных систем.

2 Вычисление ляпуновских величин.

2.1 Нахождение приближенного решения двумерной системы в окрестности состояния равновесия.

2.2 Метод вычисления ляпуновских величин во временной области.

2.3 Применение метода вычисления ляпуновских величин во временной области для вычисление первой, второй и третьей ляпуновских величин в общем виде.

2.4 Классический метод Ляпунова.

2.5 Вычисление четвертой ляпуновской величины для системы Льенара

2.6 Построение трех малых циклов в окрестности нулевого состояния равновесия.

3 Область существования четырех предельных циклов.

3.1 Сведение квадратичной системы к системе Льенара.
3.2 Применение метода асимптотического интегрирования для
построения области существования четырех предельных циклов.
3.3 Визуализация результатов .. i.
3.4 Эффект траекторной жесткости для двумерных квадратичных систем и систем Льенара.
4 Уточнение бифуркационных параметров системы фазовой автоподстройки частоты.
4.1 Цифровые системы фазовой автоподстройки частоты
4.2 Аналитические исследования
4.3 Результаты численных экспериментов
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Приложение 8
Литература


Проведенные в работе исследования выявили наличие эффекта “траекторией жесткости” системы, когда сильные уплощения затрудняют численную локализацию предельного цикла. Также в работе исследованы сценарии “разрушения” больших циклов при подходе к границам областей коэффициентов, соответствующих существованию четырех циклов. Численный анализ двух эквивалентных объектов - двумерной квадратичной системы и системы Льенара - позволяет убедиться в достоверности, полученных здесь результатов компьютерных экспериментов. Четвертая глава диссертации посвящена дискретным одномерным неунимодальным отображениям, описывающим работу цифровых систем фазовой синхронизации (ФАП). Цифровые ФАП широко используются в компьютерных архитектурах и телекоммуникациях [Nash, ; Banerjee &; Sarkar, ; Banerjee &: Sarkar, 0G; Banerjee Sarkar, ; Saleh и др. Mannino и др. Леонов Sz Селеджи, ]. Качественный анализ уравнений ФАП позволяют определить необходимые условия работы системы (при которых, например, имеются синхронизация частот и коррекция расфазировок) [Леонов к Селеджи. Leonov к Scledzhi, ]. В одной из первых работ, посвященных анализу цифровых ФАП [Osborne, ], был рассмотрен алгоритм исследования периодических решений и показано, что даже в простой дискретной модели ФАП наблюдаются бу-фуркационные явления, приводящие к появлению новых устойчивых периодических решений и изменению их периода. В дальнейшем, в работах [Белых & Лебедева, ; Белых к Максаков, ] для таких систем была рассмотрена модель перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Объединение и развитие этих идей в работах [Леонов к Селеджи, ; Leonov к Seledzhi, ] позволило построить бифуркационную дерево перехода к хаосу через каскад удвоения периода, для этого аналитически были получены первые несколько бифуркационных значений параметров, в то время как расче'г последующих бифуркационных значений и изучение хаоса потребовали применения компьютерного моделирования [Леонов к Селеджи, ; Abramovitch и др. Saleh и др. В данной работе применение качественной теории динамических систем и специальных аналитических методов [Леонов к Селеджи, ; Leonov к Seledzhi, ], а также современных математических пакетов длинных чисел позволило значительно продвинуться, в вычислении бифуркационных значений параметров системы и численно определить четырнадцать бифуркационных значений параметра системы. Фейгенбаума для унимодальных отображений. Задача Колмогорова о локализации и моделировании циклов двумерных квадратичных систем. Для некоторых двумерных квадратичных систем предельный цикл может быть построен с помощью компьютерной) моделирования траекторий системы. Термин “нормальный” цикл для циклов, которые могут быть получены с помощью численных процедур был введен Ь. М. Регко [Регко, ). Сейчас, для таких циклов обычно используют термин “большой” предельный цикл. График большого цикла системы (1. Рис. МаЬЬаЬ с помощью программного кода, представленного в Приложении 1. На Рис. Первая траектория начинает движение в точке (6,0) и закручивается вокруг нулевой стационарной точки. Вторая траектория начинает движение в точке (0. Таким образом, эти две траектории локализуют устойчивый предельный цикл, расположенный на Рис. Рис. Большой предельный цикл квадратичной системы. Пример 1. Большие предельные циклы системы (1. Ck'2 = —0 и аг = — представлены на Рис. Рис. Рис. Построить большой предельный цикл двумерной квадратичной системы, для которой он существует, не всегда легко. Для каждой траектории необходимо подобрать соответствующие начальные данные, временной интервал и параметры, необходимые для ее построения. Но в первую очередь, при моделировании возникает проблема определения класса систем, для которых существует большой предельный цикл. Рис. Большой предельный цикл квадратичной системы. Пример 2. Li, ; Lynch. Леонов, ; Леонов, ; Leonov, ; Леонов, ]. Следуй работе [Леонов, ], рассмотрим метод, позволяющий выделить классы двумерных квадратичных систем с большим предельным циклом. Д - вещественные числа. Предложение 1. Не умаляя общности mooicho считать, что С = 0. Доказательство.