Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов

• Автор: Попонин, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 110 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1 Обзор основных вычислительных приемов, применяемых при решении задач динамики вязкой жидкости.

1.2 Метод вз вешанных невязок

1.3 Численное интегрирование.

1.4 Спектральный метод.

1.5 Обзор основных алгоритмов, применяемых для решения вязких несжимаемых течений

1.6 Выводы

ГЛАВА 2. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
2.1 Метод спектральных элементов для одномерных линейных краевых задач
математической физики
2.1.1 Основные определения метода спектральных элементов.
2.1.2 Алгоритм расчета одномерной задачи методом спектральных элементов.
2.1.3 Преобразования координат
2.1.4 Сшивка решения на гранях элементов
2.1.5 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
2.1.6 Результаты расчетов.
2.2 Метод спектральных элементов для двумерных линейных краевых задач
математической физики.
2.2.1 Алгоритм расчета уравнения Пуассона методом спектральных
элементов
2.2.2 Метод аппроксимации граничных условий Дирихле и Неймана
2.2.3 Преобразования координат.
2.2.4 Результаты расчетов
2.3 Выводы
ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
3.1 Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке с частично проводящими стенками
3.1.1 Математическая постановка задачи.
3.1.2 Численный расчет течения вязкой проводящей жидкости
3.1.3 Результаты расчетов
3.2 Течение электропроводящей жидкости в канале с однородными неидеальными стенками.
3.3 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения.
3.3.1 Математическая постановка задачи.
3.3.2 Результаты расчетов
3.4 Выводы
ГЛАВА 4. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА
НЕРАЗИЕСЕННЫХ НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ.
4.1 Несжимаемые вязкие течения. Математическая постановка задачи
4.2 Метод проекций
4.3 Дискретизация уравнений НавьеСтокса методом спектральных элементов.
4.4 Результаты расчетов.
4.4.1 Сопоставление результатов с известным аналитическим
решением
4.4.2 Расчет течения в плоской каверне
4.4.3 Стационарное течение за уступом.
4.5 Выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Однако, в спектральных методах [], [5], [] процедура, реализующая этот принцип, аналогична используемой в аналитических методах решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В этом случае решение ищется путём разложения в ряд по некоторой системе ортогональных функций, называемых базисными функциями. Имея представления искомых функций в спектральном пространстве, то есть определив их в виде разложения по базисным функциям, в глобальном спектральном методе строится система интегральных соотношений, получающихся умножением исходных или преобразованных дифференциальных уравнений на тестовую функцию и далее проводится интегрирование по всей области. Использование глобального спектрального метода ограничено областями простой геометрической формы, что существенно сужает его применимость к реальным физическим процессам. В том числе для надёжного описания физического процесса требуется плотная сетка, покрывающая расчётную область, что приводит к использованию большого числа базисных функций для разложения решения. По причине ограниченных возможностей ЭВМ, использование расширенного набора базисных функций, не даёт повышения качества результатов и во многих случаях, наоборот, приводит хотя и к незначительной, но все же потере точности решений [5],[]. По указанным выше причинам глобальный спектральный метод не получил широкого распространения. Метод спектральных элементов основан на тех же самых принципах, что и глобальный спектральный метод. Учитывая свойства базисных функций, удаётся выразить вес интегралы через нули и веса наивысших аппроксимирующих полиномов. Таким образом, мы приходим к системе алгебраических уравнений для определения значений искомой функции в узлах сетки, определённой способом построения конечно-элементного разбиения и положением нулей наивысших полиномов на каждом из элементов разбиения. В таком случае для достижения необходимой точности расчётов и плотности сетки, накрывающей расчётную область, нет необходимости использовать излишне большое число базисных функций на каждом из элементов. Весь комплекс этих мер приводит к существенной экономии вычислительных ресурсов без потери спектральной точности и даёт возможность проводить вычисления в геометрически сложных областях реалистичной формы. Целью исследования является построение математического аппарата, позволяющего получать решения высокого порядка точности в областях сложной геометрии для плоских задач динамики вязкой жидкости. Обобщить метод спектральных элементов и расширить область его использования в реальных инженерных и физических задачах. Разработать алгоритм решения плоских линейных краевых задач на основе обобщенного метода спектральных элементов. Разработать алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости на основе обобщенного метода спектральных элементов. Разработан обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана, позволяющий повысить точность и качество решений плоских линейных и нелинейных задач динамики вязкой жидкости по сравнению с аналогами. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских линейных краевых задач. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости. Предложен способ решения системы линейных алгебраических уравнений, позволяющий существенно сократить время расчета за счет подбора предобуславливающей матрицы. Обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана. Алгоритм решения плоских линейных краевых задач обобщенным методом спектральных элементов. Алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости обобщенным методом спектральных элементов. Способ решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации уравнений Навьс-Стокса обобщенным методом спектральных элементов. Результаты моделирования течения вязкой жидкости в прямоугольной каверне, в канале за уступом, а также результаты моделирования течения Коважного.