Обобщенная математическая модель и алгоритмы процесса линейной деформации упругого тела на основе систем сингулярных интегральных уравнений

• Автор: Римская, Лилия Павловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 161 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава 1. Математический аппарат для исследования обобщенной

математической деформации однородного тела.

1. Математические модели процесса линейной деформации однородного тела на основе краевых задач и сингулярных

интегральных уравнений для бианалитических функций.

2. Задача Римана для аналитической функции и сингулярные

интегральные уравнения.

3. Система сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

4. Краевые задачи для аналитических функций с сопряженными

предельными значениями.

5. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана и
комплексно сопряженными значениями.
Глава 2. Двухэлементные задачи для поли аналитических функций со
сдвигом на основе первой задачи теории упругости.
6. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций,
построенные на основе первой основной задачи теории упругости
7. Задача типа Газемана для полианалитических функций
8. Первая задача типа Газемана для полианалитических функций
произвольного порядка
9. Теоремы о разрешимости задачи Газемана, Карлемана и типа
Карлемана для полианалитических функций
Глава 3. Обобщенная модель линейной деформации однородного
тела и ее свойства.
. Сингулярные интегральные уравнения Шермана.
. Системы сингулярных интегральных уравнений специального
. Системы сингулярных интегральных уравнений для пмерного
вектора.
. Системы сингулярных интегральных уравнений специального
вида со сдвигом Карлемана.
. Многоэлементная задача для полианалитических функций со
сдвигом Карлемана
. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными
значениями неизвестной функции
. Многоэлементная задача для полианалитических функций со
сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными предельными
значениями.
Приложение.
Выводы и предложения
Литература


Зная составляющие напряжений в точке на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, можно определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку. Ф j) - изменение угла между отрезками, первоначальные направления которых i и j. Х7 . У + е2; А, = Ап; р = Ац - А - коэффициенты Ламэ. Д2и(х, у) = 0. В работах Н. И.Мусхелишвили, Г. Т.Колосова показано, что решение уравнения (0. Ые [ 2. Фо(г) - аналитические функции в области, занятой телом, г = х - іу. Непосредственное решение бигармонического уравнения (0. Поэтому для определения неизвестных компонент смещения и напряжения используются различные граничные условия. Обычно их разделяют на три типа. Первая основная задача. На всей поверхности задаются внешние усилия (Хп, Уп, 2П). Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции смещения на три несовпадающие направления. Смешанная задача. В зависимости от цели исследования, формы тела, распределения усилий выбирают наиболее удобную систему условий. Несмотря на различные формулировки, математические модели первой, второй и смешанной задач теории упругости достаточно похожи. У„ = ТхуСО5(П,х) + 0у соб(п,у). V . V., . ФоЧО+*ф,+ф. Ь + с,, я2(0 = -2і|х^5 + 2іс2. Математическая модель второй основной задачи, т. С.1СУх+С^у+ССГг+СТХу» ? Уху = С°х + Ссту + с°г +с1:ху. Ф,(г1) = Р,Чг|), Ф2(г2) = Р2'(г2). Y.de, ^-Jx. Можно рассматривать функции Ф^), Ф2(7. При отображении областей О) и Т>2 на одну область у (например, окружность) уравнения (0. Как видно из систем уравнений (0. Основная трудность в решении задач одна и та же - наличие бианалитической функции. Однако традиционно для решения подобных задач применялись методы, рассматривающие только частные случаи. Более того, большинство из данных методов работают только в том случае, когда неизвестных аналитических функций две. В то же время возникают задачи теории упругости, в которых для описания напряженного состояния используются три аналитические компоненты. Ф, + р2Ф2 + ^зфз] = (0> ¦ (0. Ке[Я. Для таких задач традиционные методы решения не подходят. Одним из возможных вариантов разработки общего метода решения задач статической теории упругости в областях линейной деформации является построение обобщенной математической модели, основанной на интегральных сингулярных уравнениях, соответствующих задачам (0. В работах И. Н.Векуа было показано, что задачи подобного рода моделируют процессы, происходящие в системах, состоящих из жестко закрепленных соединений. Ф+(0 = о1Ф'(0+о2Ф"(0, г е ь. Здесь {Ф (г), Ф (г)} - кусочно аналитическая функция, Ск(1) (к = 1,2)-заданные на Ь функции. При гомеоморфном отображении поверхностей и Б на некоторые плоские области 0+ и Э~, имеющие общую границу Г, возможно получение многоэлементных краевых задач со сдвигом. Р+ д? Г д? Р±(г) - кусочно бианалитическая функция. Исследование подобного рода задач возможно только на основе соответствующей теории систем сингулярных интегральных уравнений. В следующих параграфах кратко излагается необходимый математический аппарат, традиционно использованный при решении краевых задач и систем сингулярных интегральных уравнений. Нетера); рассматриваются операторы комплексного сопряжения, сдвига, сингулярного интегрирования и их основные свойства. В этом параграфе дается решение основной задачи теории краевых задач для аналитических функций - задачи Римана. В данной задаче требуется определить неизвестную кусочно аналитическую функцию 0? G(t)0-(t) + g(t), (0. G(t), g(t) - известные функции. Данная задача, как и все остальные, рассматриваются на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера. K(p)(t)SA(t)p(t) + -^> J^+jK(t,T)p(T)dT = f(t), teL) (0. A(t), B(t), f(t) - заданные на контуре L функции, K(t, т) - известное ядро Фредгольма. Характеристическая часть данного уравнения соответствует задаче Римана (0. В § 3 и § 4 приводится теория краевых задач со сдвигом для аналитических функций. Традиционно рассматриваются четыре основные задачи. Задача Газемана. Найти кусочно аналитическую функцию Ф? Ф [а(0] = G(t) ФДО + g(t), t е L, (0. L, не изменяющий направление обхода (прямой сдвиг). Задача Карлемана. Ф+[а(1)] = G(t) Фг) + g(t), t е L, (0.