Задачи граничного управления для гиперболической системы второго порядка

• Автор: Лексина, Светлана Валентиновна
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 149 с.

Содержание
Введение

1. Краевые задачи для системы гиперболического типа второго порядка

1.1. Начальные задачи

1.1.1. Общее решение матричного уравнения.

1.1.2. Аналог формулы Даламбера.

1.1.3. Задачи е данными на характеристиках

1.2. Краевые задачи с условиями первого рода для системы гиперболического типа второго порядка

1.2.1. Первая краевая задача с начальными финальными условиями при малых Т.

1.2.2. Первая краевая задача с начальными финальными условиями при больших Т

1.3. Вторая краевая задача для системы гиперболического типа второго порядка.

1.3.1. Вторая краевая задача с начальными финальными условиями при малых Т
1.3.2. Вторая краевая задача с начальными финальными условиями при больших Т.
1.4. Краевые задачи с условиями третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка
1.4.1. Третья краевая задача с начальными финальными условиями при малых Т
2. Задачи граничного управления для системы гиперболи
ческого тина второго порядка
2.1. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях первой краевой задачи .
2.1.1. Случай различных собственных значений матрицы
2.1.2. Случай кратных собственных значений матрицы .
2.2. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях второй краевой задачи .
2.2.1. Случай различных собственных значений матрицы
2.2.2. Случай кратных собственных значений матрицы .
3. Математические модели процессов, описываемые гиперболическими системами
3.1. Продольнокрутильные колебания длинной естественно закрученной нити
Заключение
Литература


H. Знаменской [ — ) сформулированы и решены задачи управления упругими колебаниями в классе обобщенных решений Li-, с краевыми условиями первого, второго, третьего родов и со смешанными краевыми условиями, получены необходимые условия существования решений рассмотренных задач, найдены управляющие функции в явном виде. A.B. Этот случай имеет место, когда управление осуществляется за промежуток времени, не превосходящий времени распространения возмущения из одного конца струны в другой. В работе [) изучается случай безусловной управляемости, этот случай имеет место, когда время, за которое осуществляется управление, превосходит время распространения возмущения. Известно, что дифференциальные уравнения на графах возникают при моделировании процессов в сетеподобных структурах различной природы (малые поперечные колебания сетки из струн, колебание решетки из стержней, гидросети, электрические сети, стационарные состояния электронов в молекуле и т. Одна из более наглядных реализаций таких задач - упругие деформации сетки, связанной из натянутых струн. В работе Л. И. Егорова [1 исследуются управляемые колебания на струнах графа. В. Л. Ильиным и Е. Ь) - а2ихх(х, ? Работа [] является обобщением на случай телеграфного уравнения наиболее важных результатов, полученных для случая волнового уравнения. В работах [ — ] А. И. Егорова и Л. Н. Знаменской решается задача гашения колебаний в системе, состоящей из двух объектов. Колебания одного объекта описываются волновым уравнением с граничными условиями первого рода. Колебания другого объекта описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, содержащими управляющую функцию. Подробную библиографию, посвященную задаче граничного управления можно найти в обзоре А. И. Егорова и Л. Н. Знаменской [], монографии []. Современная теория управления выросла в обширную область исследований и развивается в различных направлениях []. Развитие этих направлений постоянно стимулируется быстро расширяющимся кругом практических задач различной природы. Как отмечено в работе [9], актуальность задач управления системами дифференциальных уравнений с частными производными легко объясняется их заведомо более значительными по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений возможностями в построении математических моделей для описания самых разнообразных процессов и явлений. Например, в работе [0], рассматривается гиперболическая система первого порядка, описывающая процесс теплопереноса в однородной пластинке. Диссертационная работа посвящена исследованию задач граничного управления для системы дифференциальных уравнений в частных производных, а имеено системе гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными. А — постоянная, квадратная матрица порядка т с положительными, действительными собственными значениями, и>(а;,? В — продольная и крутильная жесткости нити, д — вес единицы длины нити, к — коэффициент раскрутки, г — радиус- инерции поперечного сечения нити, д — ускорение свободного падения. Под естественно закрученной нитыо подразумевается нить обладающая продольной и крутильной жесткостями, а также способная раскручиваться при растяжении и удлиняться при раскручивании. При составлении уравнений движения естественно закрученной нити были введены следующие обозначения []: гщ(:п,? В качестве примера естественно закрученной нити можно рассмотреть стальной канал []. Граничные условия для функций 2(2,? Если ги2(/,? О, то это означает, что груз прикрепленный на конце х = I нити не может совершать поворотов. Система трех неоднородных уравнений вида (1) представленная в работе [9] описывает динамику нити в декартовых осях. Граничные условия определяются состоянием концов нити. Начальные условия зависят от формы нити и скоростей ее точек в момент времени ? Уравнения динамики нити в декартовых осях целесообразно использовать в случае, когда инерцией вращения нити можно пренебречь [9). Отметим, что системам гиперболического типа первого порядка по-свещены работы [], [-],[-], [1], [6],[5], []. Я,Ь,С,0 — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. Первая пара слагаемых в системе (4) описывает процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками.