Алгоритмы построения контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана

• Автор: Брагин, Виталий Олегович
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Многошаговый аналитикочисленный метод поиска контрпримеров к гипотезам Айзермана и Калмана.

2 Построение контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Литература


Многошаговый аналитико-численный метод поиска контрпримеров к гипотезам Айзермана и Калмана. Построение контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана. Литература . Одним из основных вопросов исследования нелинейных систем управления является вопрос, касающийся их абсолютной устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. Рх + Ч^(г*х), х € Г (0. Р - постоянная п х п-матрица, ц, г - постоянные п-мерные векторы, ф(а) - дифференцируемая скалярная функция. Здесь функция ^(г*х) трактуется как вход, а г*х - как выход. В дальнейшем будем полагать, что •г/? Здесь и далее * обозначается операция транспонирования. Такая форма записи нелинейных динамических систем с одной нелинейностью традиционна для теории абсолютной устойчивости нелинейных систем управления [Лурье , , ЬеЁзсЬсЪг, |. В году М. А. Айзерман [Айзерман, ] выдвинул следующую гипотезу для системы (0. Р4-qA;r* имеют отрицательные вещественные части), то система (0. Д1 сг < ф(а) < р2а а ^ О, (0. Ляпунову и любое решение системы (0. I —> со). В год}' I I. Г. Малкин [Малкин , ], Н. П. Еругин [Еругин , ] и H. H. Красовский [Красовский , ] полностью разрешили проблему Айзермана при п = 2. При выполнение этих условии H. H. Краковским [Красовскнй , ] было показано, что система (0. Это был первый контрпример к проблеме Айзермана, который в дальнейшем был обобщен на системы (0. Noldus, , Леонов , ]. Позднее в году P. E. Калман [Kalman, ] видоизменил условие М. IM < Ф'(а) < /, (0. Ясно, что для п = 2, за исключением контрпримера Красовского, гипотеза Калмаиа верна. В [Leonov, Ponomarenko & Smirnova, ] показано, что из частотных критериев- устойчивости следует, положительное решение проблемы Калмаиа для п = 2 и п = 3. Обобщение вопроса, поставленного P. E. Калмаиом, было сформулировано в [Markus &Yamabe, I0) и известно как гипотеза Маркуса-Ямабе. В году В. А. Плисе [Плисс , ] развил метод построения нелинейных систем, удовлетворяющих условию Айзермана и обладающих периодическими решениями. В дальнейшем этот метод был обобщен на систему (0. Noldus, , Леонов , ]. Однако классы этих систем не удовлетворяли условию Калмана. Гипотезам Айземапа и Калмана и вопросами, связанными с ними, посвящено большое количество работ, например [Willemsfc Willems, , Mahalanabis& Bhaumik, , Воронов , . Воронов , . Известным контрпримером к гипотезе Калмана являются результаты Фиттса [Fitts, ], где проведено компьютерное моделирование системы (0. W+W + 0. К(р+ /? Проведем компьютерное моделирование системы Фиттса. При /? А = —0Т! Рис. Рис. В своих экспериментах Фиттс обнаружил периодические решения системы (0. Де(0. Барабанов, , Барабанов, ), что результаты экспериментов неверны. В году Н. Е. Барабанов [Барабанов, ) приводит доказательство существования системы (0. Калмана не выполнена. Эго доказательство было подвергнуто критике (Bern at & Llibre, , Meisters. Глуцюк, ). Markus-Yamabe Conjecture in RA But the details of his paper were in some doubt”, в [Глуцюк, ) говорится, что “в 8S г. Н.Е Барабанов сделал попытку построить контрпример к теореме Маркуса-Я мабс в М” при п > 4. Недавно в сю статье были найдены ошибки”. Хз = х — 2ха - <р(х. Барабанов, ). Возьмем <р специального вида, которая, будет “близкой” к нелинейности Барабанова. График такой нелинейности изображен на Рис. Рис. Для системы (0. Промоделируем данную систему с начальными данными хДО) = 0, ? Полученное периодическое решение изображено на Рис. Рис. Проекция траектории на плоскость (? В [Bernat& Llibre, ] предприняты попытки преодоления проблем возникших в [Барабанов, ] при помощи аналитико-численных методов. X 3 = . П +ГСЗ-. График такой нелинейности изображен на Рис. Рис. Промоделируем систему (0. Полученное периодическое решение изображено па Риг.