Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании вариационных задач для квадратичных функционалов

• Автор: Шишкин, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 165 с. : ил.

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Примеры вариационных задач для квадратичных функционалов

1.2 Минимизация квадратичного функционала

1.3 Доказательные вычисления.

2 Абстрактная вариационная задача для квадратичного

функционала

2.1 Постановка задачи

2.2 Условия существования решения .

2.3 Проекционный метод исследования

3 Доказательный вычислительный эксперимент

3.1 Алгоритм доказательного вычислительного эксперимента .
3.2 Приближнное интегральное уравнение
3.3 Обобщение на случай функций многих переменных
4 Программная реализация
4.1 Структура программы .
4.2 Вспомогательные процедуры.
4.3 Постановка и решение задачи.
5 Примеры
5.1 Простейшая задача Лагранжа.
5.2 Задача с сосредоточенным отклонением аргумента.
Заключение
А Программная реализация
АЛ i.
Л.2 Базовые данные.
А.З Математические процедуры.
А.4 Постановка задачи
.5 Доказательный вычислительный эксперимент.
В v. Вспомогательные процедуры
В Л Решение скалярного уравнения.
.2 Решение задачи Коши
В.З Решение краевой двухточечной задачи
В.4 Графики .
Используемые обозначения
множество натуральных чисел.
Ъ множество целых чисел.
0 множество рациональных чисел.
Кп евклидово пространство пмерных вещественных векторов.
ИХ множество интервалов, границы которых принадлежат множеству X. ГО множество интервалов, границы которых могут быть точно без погрешности представлены используемой вычислительной техникой.
0 множество рациональных чисел, которые могут быть точно представлены используемой вычислительной техникой.
1 функция, обратная к функции . Для однозначных функций
Г1г.
X банахово пространство с нормой х X пространство, сопряжнное пространству X. , ггх значение функционала Е X в точке X 6 X.
Н абстрактное гильбертово пространство со скалярным произведением н
2 вещественное гильбертово пространство функций, суммируемых на И с квадратом. При П , 6 будем писать 2, .
х,уип хшуш .
X, множество линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство . При X вместо X, X будем писать X.
Т ,X оператор, сопряжнный оператору Т X, .
Т ядро оператора Т X
кегТ х X Тх 0.
xx X, производная Фреше отображения X, З, стр.
x x ,x i.
Если x скаляр, то может использоваться обозначение x.
xxx X,X, вторая производная Фреше 3, стр. 4.
спектр оператора Т.
у, интервальные числа элементы множества IX.
у нижняя и верхняя границы интервала у
У
i у середина интервала у
i 2.
од суперпозиция функций .У и д X У
о дХЪ.
теэП мера множества Г2.
Хх характеристическая функция множества X
, л , 1, X,
Хх х
О, хХ.
Эр М след п х пматрицы М Эр М Мц.
Введение
Актуальность


В первой главе приводятся примеры вариационных задач для квадратичных функционалов. Кратко описывается разработанный Пермским семинаром по функционал ьнодифференциальным уравнениям подход к исследованию задачи минимизации квадратичного функционала. Датся описание методов конструктивной математики. Вторая глава посвящена общему описанию предлагаемого метода исследования применительно к абстрактной вариационной задаче для квадратичного функционала. На основе изоморфизма ХНх Кт исходная задача редуцируется к задаче минимизации в гильбертовом пространстве. Для проверки необходимых и достаточных условий существования решения предлагается заменить исходный объект 0. Фредгольма второго рода с конечномерным ядром уп. Обосновывается выбор метода аппроксимации К и на основе проекции в подпространства, натянутые на подмножества Фь ФпУ заданной полной системы функций 0ii, ортогональных с единичным весом. Если уравнение 2 уп имеет решение, то проверка разрешимости исходного уравнения осуществляется на основе теоремы об обратном операторе с помогцыо сравнения значений К н и . Для проверки достаточного условия существования решения исходной вариационной задачи оценивается нижняя граница спектра оператора I К, для чего используется теорема о спектре возмущнного ограниченного самосопряжнного компактного оператора. Если необходимые и достаточные условия существования решения выполнены, строится решение приближнного уравнения и оценивается, норма разности между построенным решением и истинным решением исходной задачи . В третьей главе описывается конструктивная реализация предлагаемого подхода для пространства Н Ь2а, 6. Датся обоснование выбора в качестве базиса аппроксимации ортогональных многочленов Лежандра или системы ортогональных функций РадсмахераУолша. Описаны два подхода к решению системы линейных алгебраических уравнений с учтом погрешностей аппроксимации. Результаты представлены в виде формул, готовых для программной реализации на соответствующем языке программирования. В конце главы рассматривается случай 2 i, х х а 6. Четвртая глава посвящена описанию особенностей программной реализации. В пятой главе приводятся результаты доказательного вычислительного эксперимента при исследовании различных вариационных задач. Классическая вариационная задача Лагранжа без отклоняющихся аргументов используется для сравнения классического решения с решением, полученным предлагаемым методом. Вторая задача также является задачей Лагранжа, но в ней уже используются элементы с отклоняющимся аргументом. Приложение содержит тексты программ с краткими комментариями. Научная новизна исследования. Разработан новый, ориентированный на использование современных вычислительных средств, метод исследования вариационных задач для квадратичных функционалов, позволяющий получить приближнное решение задачи с гарантированной оценкой точности. На модельных примерах показано применение предлагаемого метода для исследования вариационных задач для квадратичных функционалов, содержащих нелокальные оператры. Определены границы применимости предлагаемого подхода. Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования были опубликованы в работах автора , и в работах ,, написанных в соавторстве. Из результатов совместных работ в диссертацию вошли только результаты, полученные автором лично. Азбелев Н. В., Ижевском семинаре но дифференциальным уравнениям и задачам управления г. Тонков Е. Л., семинаре Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей в и гг. Максимов В. II. Пермском городском теоретическом семинаре Фундаментальные и прикладные модели управления экономикой г. Аверин В. И. и проф. Перский Ю. К., Меж дур одной конференции Информационные технологии в инновационных проекгах Ижевск, г. III Всероссийском семинаре Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Казань, г. Экономика и управление актуальные проблемы и поиск путей решения Пермь, г. IV Международном конгрессе по математическому моделированию Нижний Новгород, г.