Устойчивое оценивание статистических моделей при распределении наблюдений по закону минимальных значений

• Автор: Грюнер, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 159 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЯ УСТОЙЧИВОГО ОЦЕНИВАНИЯ

1.1. Классификация статистических моделей

1.2. Классические методы оценивания

1.2.1. Метод наименьших квадратов

1.2.2. Метод максимального правдоподобия.

1.3. Робастные методы оценивания.

1.3.1. Элементы теории локальноустойчивого оценивания.

1.3.2. Теория стойких оценок.

1.4. Выводы
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ОЦЕНОК.
2.1. Постановка задачи.
2.2. Оценки сдвига.
2.2.1. Локальноустойчивые оценки сдвига.
2.2.2. Стойкие оценки сдвига.
2.2.3. Сравнение оценок сдвига.
2.3. Оценки масштаба.
2.3.1. Локальноустойчивые оценки масштаба.
2.3.2. Стойкие оценки масштаба.
2.3.3. Сравнительный анализ оценок масштаба
2.4. Устойчивое оценивание параметров регрессии
2.5. Выводы
ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОЦЕНОК
3.1. Постановка задачи.
3.2. Экспериментальные исследования оценок сдвига
3.2.1. Точечное засорение
3.2.2. Равномерное засорение.
3.2.3. Исследование оценок сдвига при модельном засорении.
3.3. Экспериментальные исследования оценок масштаба.
3.3.1. Точечное засорение.
3.3.2 Равномерное засорение.
3.3.3. Исследование оценок масштаба при модельном засорении
3.4. Сравнительный анализ оценок при модельном засорении
3.5. Исследование оценок параметров регрессионной модели и масштаба
3.5.1. Исследование оценок при точечном засорении
3.5.2. Исследование оценок при равномерном засорении.
3.6. Выводы
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
4.1. Исследование стойкости сверл
4.1.1. Спецификация модели.
4.1.2. Критерии качества оценок
4.1.4. Оценка параметров модели
4.2. Анализ выживаемости мышей, облученных радиацией.
4.3. Исследование пробоя электроизоляционной жидкости
4.3.1. Спецификация модели.
4.3.2. Предположение о плотности минимальных значений
4.3.3. Предположение о плотности максимальных значений.
4.4. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


В третьей главе проведено экспериментальное исследование полученных оценок при различных видах засорений. Выявлены диапазоны превосходства робастных оценок над оценкой максимального правдоподобия. В четвертой главе с использованием полученных оценок решен ряд прикладных задач (оценивание модели стойкости сверл, оценивание параметров времени жизни облученных мышей, исследование модели времени пробоя электроизоляционного материала). Представлены преимущества робастных методов перед классическими методами оценивания: методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия. Автор выражает глубокую благодарность за постоянную поддержку, внимание к работе д. Д. В. Лисицину. ГЛАВА 1. В главе приводятся основные понятия, ставятся в математической форме задачи, описывается современное состояние направления, связанного с проблемой робастности, проводится обзор подходов к ее решению и обосновываются задачи исследований. Одним из важнейших направлений в прикладной статистике является оценивание параметров статистических моделей. Под статистической моделью может подразумеваться как само семейство распределений, так и регрессионная модель в предположении того или иного закона распределения ошибок. В качестве параметров моделей могут выступать параметр сдвига, параметр масштаба, а также параметры регрессионной модели. На практике встречаются самые разные задачи, где требуется оценка одного, двух или нескольких параметров. Рассмотрим классическую постановку регрессионной модели. Пусть количественный признак у (отклик, результативный признак) зависит от ряда других независимых и неслучайных показателей л* ,• (факторы, регрессоры), у = 1 ,. Д, к - количество влияющих факторов. У = Ьо+ + ? Ь}, у = 0,. А: - оцениваемые параметры, е- случайная величина (ошибка). Пусть проведено т наблюдений за откликом при некоторых значениях влияющих факторов Xj и ошибки наблюдений, попарно не коррелированные, имеют нулевое математическое ожидание и одинаковый масш таб 0 для всех наблюдений. Обозначим У = (у,У—'. В = (Ьо,Ь- (/: + 1)-мерный вектор-столбец неизвестных параметров регрессии (1. Тогда модель (1. У = ХВ + Е. Требуется восстановить линейную зависимость отклика у от регрессоров Ху-, то ес ть оценить вектор параметров В. Одними из самых распространенных методов оценивания параметров регрессии (1. МНК) [3, 1, , , , ] и параметрический метод максимального правдоподобия (ММП) [6, , , , ]. Метод наименьших квадратов требует независимых, одинаково распределенных ошибок с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Критерием качества оценки выступает сумма квадратов отклонений вычисленных и наблюдаемых значений. О(В) = (У - ХВ)Г (У - ХВ)-+ пип . ХТХВ = ХТУ, (1. В - оценка В. В случае если матрица X X невырожденная, то (1. В = {хгх) Х ХТ У. Согласно теореме Гаусса - Маркова [3, 1, , , , ] МНК-оценка является несмещенной и имеет наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок. Критерием качества метода максимального правдоподобия выступает функция правдоподобия Л(Г|/? У в зависимости от всех оцениваемых параметров регрессии (1. В и параметра масштаба 0 плотности распределения откликов У. ММП-оценки доставляют максимальное значение функции правдоподобия Ь[У В,0}. При решении практических задач часто вместо функции правдоподобия используется ее логарифм. В,0) = пВ{УВ,в). Оценка ММП при выполнении определенных условий регулярности является асимптотически несмещенной, состоятельной и асимптотически эффективной. Оценки МНК и ММП в общем случае оказываются достаточно чувствительными к наличию резких отклонений от основной массы наблюдений [, ], что приводит к серьезным смещениям оцениваемых параметров. В данном разделе рассматривается теория робастных методов оценивания при байесовском точечном засорении данных [, , , , ]. Изложение материала в данном подпункте в основном следует работам [, ]. Пусть х. Де х е X с /? О а. УМ(х;9в) (1. М(х,6): X х<9 —> /? Оценочным уравнением называется необходимое условие минимума в выражении (1. ХУ(*/,0) = О, (1. Еу/(х,0) = ^у/(х,0)/(х,0)с1х = 0, (1.