Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем

• Автор: Утешев, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 275 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ Список обозначений и сокращений

Введение

Глава 1. Локализация корней полиномов от одной переменной .

1.1. Вычисление характеристик ганкеленой матрицы .

1.2. Результант и субрезультанты

1.3. Ганкелевы матрицы в задаче о расположении корней

1.4. Отделение корней полинома в отсутствие его

канонического представления

1.5. Метод Безу для случая одной переменной

1.6. Формула Маркова .

Глава 2.Исключение переменных и отделение решений

систем полиномиальных уравнений
2.1. Определение многомерного результанта
2.2. Отделение решений в случае двух переменных
2.3. Вычисление симметрических функций решений .
2.4. Метод Эрмита для двух переменных.
2.5. Результант трех полиномов от двух переменных
2.6. Метод Эрмита для трех и более переменных .
2.7. Еще один способ вычисления многомерного результанта .
2.8. Редуцируемость .
2.9. Связь с методом Маколея
2 Связь с методом базисов Грбнера.
2 Отделение решений через предварительное преобразование
системы .
Глава 3. Различные применения .
3.1. Условия знакоопределенности полинома
3.2. Вычисление индекса КронекераПуанкаре
3.3. К задаче полиномиальной оптимизации
3.4. Локализация решений систем неравенств
3.5. Некоторые задачи теории устойчивости
Заключение.С
Литература


Диссертация в целом, а также ее отдельные разделы докладывались на конференциях: 5-й Четаевской "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением”(Казань, ), "Метод функций Ляпунова" (Иркутск, ), СБАМ’ЭЗ по компьютерным системам и прикладной математике (С. Петербург, ), 1п1егуаГ по интервальным и компьютерно-алгебраическим методам (С. Петербург, ), САБС-ЭЗ по компьютерной алгебре в научных вычислениях (С. Петербург, ), Понтрягинской (Москва, ); на семинарах университета Твента (Энсхеде, Нидерланды), центра математики и информатики (С\Л, Амстердам. Нидерланды), исследовательского института по символьным вычислениям (Ш8С, Линц, Австрия), технического университета г. Тимо-шиара (Румыния), на открытом семинаре Роо- (г. Ираклио, Греция); на городском семинаре "Информатика и компьютерные технологии" (СИИИРАН), а также на семинарах кафедры математического моделирования энергетических систем Санкт-Петербургского государственного университета. Основное содержание диссертации отражено я -ти опубликованных работах. Глава 1. Локализация корней полиномов от одной переменной. Вычисление характеристик ганкелевой матрицы. Пусть А = [ву]"^=1 — некоторая матрица с комплексными элементами. А строк с номерами ц, *2,. Теорема 1. Формула (1. А к вычислению четырех его миноров порядка п - 1 и одного — порядка п - 2. Особенно она упрощается для случая симметричной матрицы . На основании этой формулы, можно построить алгоритм вычисления определителя, известный как алгоритм Барейса (]. Мы воспользуемся его частным случаем (известным еще Якоби [4], с. Oi й2 . Clj Й2 «з . А = [Oj+i]"jtio = «2 «3 «4 . Яп-1 а,| +1 . I ttp+2 . Ч.2(-2 так что лр) = ар. С помощью (1. Теорема 1. Если ранг ганкелевой . С = 1,. Приведем теперь несколько результатов по вычислению индексов инерции вещественных симметричных матриц (), []. Теорема 1. Якоби) . АиАь. Аг (1. Л) ) равен числу постоянств Р (перемен V) знаков в ряду (1. А) = Р(1, Ль Л2,. Аг), п_(А) = V(l, Аи Ai,. Ar) (1. Тогда сигнатура матрицы А равна: а (А) = Р — V. Следствие 1. Гульденфингер,Фробениус) Если в последовательности (1. Лг ф О, то формулы (1. При наличии большего чем 2 числа подряд идущих нулей в последовательности (1. Но в частном случае ганкелевой матрицы это можно сделать. Обозначим через Л(г> следующий минор матрицы (1. Теорема 1. Фробениус) . Индексы инерции ганкелевой матрицы (1. Ah Ф 0,Лд+1 = . Ah Ф 0) Л/,+1 = Лд+2 = . Лд+р = 0 (Лл+р+1 ф 0) (1. Ah+j = (-yV-W sign Ah. При этом величины P,V,P- V, соответствующие группе (1. А & — Г>( Аь, -і4л+і ,. В заключение настоящего параграфа приведем два результата, которые будем неоднократно пользоваться. ПерныП из них полезен при анализе сигнатуры произвольной симметричной матрицы, непрерывно зависящей от параметров, принимающих значения из некоторой связной области []. Теорема 1. Изменение сигнатуры симметричной матрицы может происходить только через изменение ее ранга. В частности, если при изменении значений параметров в некоторой связной области нам удалось гарантировать (іеіЛ Ф 0, то а{А) будет постоянной для всех этих значений. Следующий результат [] можно назвать теоремой о несущественности алгебраических неравенств. Пусть к — область целостности, содержащая бесконечно много элементов, и пусть Рі^2 — два полинома из кольца к(уі, . У<] полиномов над к. Говорят, что эти полиномы равны тождественно над к, если ? А(уь. Уь- • ч? Теорема 1. Пусть Р](>/[, у*) = . Н{у,. О, . Н,. Нк из х[у1,. Тогда ^ и F2 равны формально. Результант и субрезультанты. Приведем сводку результатов из [3],[],[4]. Ьохт + . Обозначим корни полинома /(х) через Ль. А„. Определение. Будучи симметрическим полиномом относительно корней /(х), результант — на основании теоремы Гаусса [] — рационально выражается через ао,. Более того, его значение оказывается неприводимым полиномом над кольцом целых чисел. Конструктивное его вычисление возможно разными способами, укажем наиболее известный. Теорема 1. Ьо 6, . Ь . Ьт 0 . Определение. А- + 2 . А* + 2 . Ь0 Ьх . Ьк := 0 при к > т ). Для однообразия будем считать также, что И0 := ДеШ = (-1 )п(п~1^'2Щ/,д). Теорема 1. Степень %сс(/. Т^о = ] = . И этом случае gcd(/. Ьт-4+^ + . I а„^хн + . Старший коэффициент gcd(/, д) равен И4. Ь) Полиномы р(х) и д{х), дающие линейное представление дсс!