Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления

• Автор: Фигура Адам
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 158 с. : ил

1 Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида

1.1 Задача Понтрягина

1.адача БлиссаБольца Лагранжа, Майера

1.3Каноническая задача ДубовицкогоМилютина

1.3.1 Каноническая задача оптимального управления с гладкой зависимостью от времени

1.3.2 Локальновыпуклые функции конечномерного пространства г, у по у . .

1.3.3 Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование Задачи А.

1.3.4 гстационарлость .

1.3.5 Структура смешанных ограничений .

1.3.6 Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

1.3.7 Замыкание по мере

1.3.8 Интегральный принцип максимума в нерегулярном случае принцип максимума По.
1.3.9 Каноническая задача с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном 1.
1.4Класс задач оптимального управления, сводящихся к каноническим Задачам А и В
1. возможном характере меры для смешанных ограничений
1.бФазовые ограничения
1.6.1 Фазовые ограничения типа равенств.
1.6.2 Фазовые ограничения типа неравенств
1.7Теорема существования для задачи оптимального управления
2 Задача оптимального управления внешним долгом
2.1Постановка задачи
2.2Первое приближение
2.3Принцип максимума без учета фазовых ограничений
2.адача со свободным правым концом
2.5Решение основной системы в задаче со свободным правым концом
2.бНулевое приближение
2.7Продолжение решений по параметру
2.8Краевая задача с концевыми условиями для фазовых переменных 2.9Метод введения параметра в дифференциальные уравнения
2. Замена переменных
3 Численные методы решения систем линейных уравнений
3.1Введение
3.2Метод введения параметра
З.ЗВычитание близких величин
3.4Метод регуляризации
З.бПринцип продолжения
З.бМетод продолжения для решения линейных систем
3. выборе числа итераций
3.8Расширения метода продолжения
3.9Процедура проверки метода
3. Результаты тестирования метода
3. Интегральный метод проверки вычислительного метода
3. Выводы по результатам вычислений
4 Методы продолжения решений по параметру
4.1Постановка задачи
4.2Наилучший параметр продолжения решения
4.3Непрерывный аналог метода Ньютона
4.4Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4.бобщенный метод Ньютона
4.6Полиномы Чебышева и Лагранжа
4.6.1 Метод ортогональных функций
4.6.2 Полиномы П.Л. Чебышева.
4.7Полярное разложение матрицы Якоби
4.бобщенное продолжение решений по параметру
4.9Метод численного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений
5 Результаты численных расчетов задача о внешнем долге
5.адача Понтрягина
5.2Пример аналитического исследования необходимых условий в задаче с фазовыми ограничениями
6 Задачи оптимального управления со смешанными ограничениями в процессах полимеризации
6.1Введение
6.2Каноническая задача ДубовицкогоМилютина
б.ЗИнтегральный принцип максимума в нерегулярном случае принцип максимума По
6.4Математическая модель суспензионной полимеризации винилхлорида в периодическом реакторе
6.5Задачи на быстродействие. Задача А2
б.бОптимальные траектории.
6.7Приближенное решение краевой задачи
6.адача о минимуме х2Ь
б.ЭКласс регулярных задач со смешанными ограничениями
7 Задача оптимального управления при входе аппарата в атмосферу
7.1 Оптимизация дальности при входе аппарата в атмосферу плоский случай
7.2Принцип максимума регулярный случай
7.3Продолжение решений по параметру
7.граничение на перегрузку
7.5Необходимые условия экстремума в нерегулярном случае
7.бСтруктура множества нерегулярных точек
7.7Непрерывность СУ в точке
7.8Нерегулярная оптимальная траектория
7.9Регуляризация вырожденного принципа максимума
7. Оптимальные боковые маневры аппарата в атмосфере
8 Приложения
8.1Приложение I
8.2Приложение II
8.3Приложение III
8.4Приложение IV
Введение


Параметры типа а можно заменять на непрерывно дифференцируемые функции от р или интегралы от функции класса Л2, параметры типа 3 можно заменять локальновыпуклыми функциями р, интегралами или Утагтах от фунхций класса М,. Формулировка принципа максимума По приведена в работе 1. Отметим, что в теории оптимального управления в настоящее время можно выделить четыре основных типа вариаций, при помощи которых решались различные постановки оптимального управления. Перечисли их локальные вариации, игольчатые вариации, вариации скольжения и адвариации. В регулярных задачах оптимального управления последние три тепа вариаций эквивалентны между собой, т. Для нерегулярных задач информативность разных типов вариаций оказывается различной. Наиболее информативными являются адвариации. Принцип максимума Пополучен с применением адвариаций. С содержательной точки зрения Принцип максимума По получается в случае, когда множество нерегулярных точек конечно. В работе на основе двухсекторной модели внешнего долга рассматривается задача минимизации внешнего долга. Предложенная задача решалась методом продолжения решений по параметру. Для получения последующего приближения используются методы прогнозирования начальных значений сопряженных переменных и элементов матрицы Якоби на основе полиномов Лагранжа и Чебышева ,. Для улучшения устойчивости методов интегрирования типа РунгеКутта применяется метод замены переменных. Основная трудность при решении краевой задачи методом продолжения по параметру связана с учетом смешанных и фазовых ограничений. Указанная задача редуцируется к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнении ОДУ. В работе предложены некоторые методы вычисления первого приближения при решении краевой задачи. Сначала исследуется качественные особенности решения на базе схемы ДубовицхогоМилютина 1. Основным методом решения задачи служит метод продолжения решения по параметру. Лагранжа. Для решения указанной проблемы использовались аналитические методы, методы продолжения по параметру, а также методы решения задач линейного программирования ЛП большой размерности, предложенные Умновым А. Объектом исследования является модель двусекторной открытой экономической системы на временном интервале О, Г, все переменные которой неотрицательны и нормированы на одного работника. Первый сектор производит сырье и продукцию первичной переработки, а второй продукцию конечного потребления потребительские товары и фондообразующую продукцию для обоих секторов. Предполагается, что производственная функция каждого из секторов имеет постоянную отдачу от масштаба производства и что связь между фондовооруженностью труда Х х,, г 1,2, и его производительностью . У , 0. Мхг х2 0. В рассматриваемой модели предполагается, что потоки экспорта и импорта определяют динамику внешнего долга. Пусть хз означает внешний долг в момент времени . Г. 0. Г 0. Смысл ограничения 0. Г. 0. Начальное состояние системы известно. Задача i. Рассматривается задача о минимизации внешнего долга при наличии ограничений 0. Т и, х2Т 0. Для решения задачи i рассматривалось семейство задач, зависящее от параметров. В нулевом приближении полагали ii i3 0. При этом производственные функции аппроксимировались линейными с учетом фазовых ограничений. Полученная модель позволила получить аналитическое рашание и определить оптимальное управление для задачи Понтрягина. Дальнейшее решение получали методом продолжения по параметру. Наличие фазовых ограничений приводит к усложнению вычислительных процедур связанных с решением сопряженной системы. При этом структура сопряженной системы определяется геометрией оптимальной траектории. Под геометрией понимается число выходов на фазовое ограничение и их характер протяженный или точечный контакт. Требует также своего обоснования момент схода с фазового ограничения. В другой формулировке задача определения геометрии оптимальной траектории сводится к задаче определения активных индексов для ограничений типа неравенств. Решение для нелинейной производственной функции получалось методом продожения решений по параметру.