Исследование устойчивости и оптимизация линейных систем с коэффициентами, зависящими от полумарковских и марковских процессов

• Автор: Карелова, Оксана Леонидовна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 218 с.

Введение.
Глава 1. Обзор работ по теории устойчивости и теории оптимального управления для систем со случайными параметрами
1.1. Обзор работ по теории устойчивости решений систем дифференциальных и разностных уравнений со случайными

параметрамиЮ

1.2. Обзор работ по оптимизации решений систем дифференциальных и

разностных уравнений со случайными параметрами

1.3. Некоторые определения и теоремы.

1.3.1. Скалярное произведение матриц

1.3.2. Сопряженный монотонный оператор

1.3.3. Стохастические операторы.

1.3.4. Полумарковский конечнозначный процесс с непрерывным временем.

1.3.5. Полумарковский конечнозначный процесс с дискретным временем. Глава 2. Исследование устойчивости решений систем линейных
дифференциальных и разностных уравнений с марковскими
коэффициентами.
2.1. Вывод моментных уравнений.
2.1.1. Система линейных разностных уравнений с кусочнопостоянными коэффициентами.
2.1.2. Нестационарные системы линейных разностных уравнений.
2.1.3. Система линейных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными коэффициентами.
2.1.4. Нестационарная система линейных дифференциальных
уравнений.
2.2. Исследование Ьгустойчивости решений системы линейных разностных уравнений с коэффициентами, зависящими от марковской цепи
2.2.1. Ьг устойчивость решений разностных уравнений.
2.2.2. Построение функций Ляпунова для системы линейных разностных уравнений
2.2.3. Построение функций Ляпунова с помощью моментных уравнений. 2.3. Исследование устойчивости решений системы линейных
дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами
2.3.1. Ь2устойчивость решений дифференциальных уравнений
2.3.2. Построение функций Ляпунова для системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений.
2.3.3. ИсследованиеЬгустойчивости решения системы линейных
дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными марковскими коэффициентами.
2.3.4. Построение функции Ляпунова с помощью моментных уравнений Глава 3. Исследование устойчивости решений систем линейных
дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
3.1. Моментные уравнения для системы линейных дифференциальных
уравнений с полумарковскими коэффициентами
3.1.1. Вывод операторных уравнений для частных плотностей.
3.1.2. Вывод моментных уравнений
3.1.3. Уравнения для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными полумарковскими коэффициентами
3.2. Вывод моментных уравнений для стохастической системы линейных дифференциальных уравнении с полумарковскими
коэффициентами
3.3. Исследование устойчивости решений системы линейных
дифференциальных уравнении
3.3.1. Определения устойчивости решений.
3.3.2. Построение функций Ляпунова
3.3.3. Построение функций Ляпунова для системы стохастических дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от
полумарковского процесса
Глава 4. Синтез оптимального управления для линейных систем
дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских и марковских процессов
4. У. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных
уравнении с полумарковскими коэффициентами.
4.1.1. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
4.1.2. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными случайными коэффициентами
4.2. Оптимизация линейной системы с коэффициентами, зависящими от
полумарковского процесса и при случайном входе
4.3. Оптимизация решений системы линейных
дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от марковского процесса
4.3.1. Использование принципа динамического программирования.
4.3.2. Оптимизация линейных дифференциальных систем со случайной структурой
4.4. Телеграфные белые шумы.
Глава 5. Устойчивость и оптимизация линейных систем разностных уравнений, зависящих от полумарковских и марковских цепей
5. У. Моментные уравнения для системы линейных разностных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
5.1.1. Операторные уравнения для частных плотностей
5.1.2. Вывод моментных уравнений.
5.1.3. Система разностных уравнений с кусочнопостоянными полумарковскими коэффициентами.
5.1.4. Линейные разностные уравнения со случайными
марковскими коэффициентами и скачками решений
5.2. Исследование устойчивости решений системы разностных уравнений со
случайными полумарковскими коэффициентами.
5.3. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с
полумарковскими коэффициентами.
5.3.1. Необходимые условия оптимальности
5.3.2. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с кусочнопостоянными полумарковскими коэффициентами.
5.4. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с
марковскими коэффициентами
5.5. Разностная аппроксимация системы стохастических
дифференциальных уравнений.
Глава 6. Моделирование социальнодемографической ситуации в
Ставропольском крае.
6.1. Вынужденная миграция в России
6.2. Региональные факторы миграции и этническая структура
миграционного потока на Северном Кавказе
6.3. Социальнодемографическая ситуация в Ставропольском
6.4. Марковская модель развития демографической ситуации в
Ставропольском крае
6.5. Полу марковская модель развития демографической ситуации в
Ставропольском крае.
6.6. Анализ полученных результатов.
Заключение
Литература


Решение задачи оптимизации, в принципе, может быть достигнуто теми же методами, что и для процессов с детерминированной структурой. Все эти методы в той или иной степени могут применяться для оптимизации систем со случайной структурой и модифицированы в работах В. В.А. Бухалева , , А. Ю.Голубина и Н. Д.Толмачевой , Л. Г.Гурина , В. Б.Колмановского , Г. Е.Колосова и других авторов. Весомый вклад в развитие теории внесли работы А. А.Красовского , Ф. А.Черноусько и В. Б.Колмановского и Г. Е.Колосова . Отметим, что в силу близости методов оптимального управления и исследования устойчивости по Ляпунову, а также затрудненности переноса классических методов оптимального управления в системы со случайными коэффициентами, наряду с модификацией классических методов использовался аппарат стохастических функций Ляпунова. Главную роль при исследовании устойчивости систем со случайными коэффициентами играют уравнения Фоккера Планка Колмогорова, исследованию которых посвящены работы В. Г.Коломийца, Д. Г.Кореневского, Р. Л.СТратоновича, В. Феллера, В. И.Тихонова, В. Эти уравнения позволяют либо найти плотность распределения случайных коэффициентов, либо привести эти уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для частных моментов. Понтрягина, метод функций Ляпунова, хотя подавляющее число авторов отдают предпочтение принципу Веллмана и методу функций Ляпунова. Так, например, в работе Ф. А.Черноусько и В. Ляпунова, которая гарантирует асимптотическую устойчивость. Дальнейшее развитие теория оптимизации систем дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами получает усложнением структуры таких систем. Так И. Я.Кац в своей работе исследует задачу оптимальной стабилизации стохастических систем с возможными скачками фазовых траекторий, Е. А.Андреева, В. Б.Колмановский, Л. Е.Шайхет 5 управление системами с последействием. В работах К. Г.Валеева исследуются системы со случайными коэффициентами, зависящими от марковской цепи и белого шума, причем автору удалось доказать, что наличие белого шума в такой системе не влияет на выбор оптимального управления. Естественно и развитие теории оптимизации систем со случайными коэффициентами на случай полумарковских процессов. В книге К. Г.Валеева, О. В.И. Горелова рассмотрены вопросы оптимизации линейных систем со случайными коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов. Рассмотрим несколько работ подробнее. В работе С. М.Хрисанова 5 рассмотрена управляющая система, зависящая от марковского процесса, минимизирующая квадратичный функционал качества. Регулятор ищется в виде X. Для нахождения оптимального управления используются уравнения для матрицы вторых моментов процесса. Приведен пример, показывающий, что оптимальный регулятор невозмутценной системы для возмущенной может быть недопустим. В работе . X АХ0 , X, где X состояние, управление, белый шум. Вводится определение, согласно котором система называется ковариационно управляемой если существует управление, переводящее любую матрицу начальных ковариаций в заданную матрицу X. В работе О. Я. Показано, что свойство локальной и равномерной локальной управляемости эквивалентны. Найдены достаточные условия равномерной глобальной управляемости системы с заданной вероятностью. Эти результаты применяются в исследовании конкретных систем, заданных с помощью марковских процессов. В работе И. Е.Казакова и В. Н.Артемьева рассмотрена управляемая система со скачкообразным случайным изменением параметров. Регулятор системы ищется в виде и К1Х1У где случайный марковский процесс. Управление находится из условия минимизации квадратичного функционала. Получена система уравнений для определения коэффициентов управления. Некоторые определения и теоремы. Скалярное произведение матриц. Определение. Пусть А и В прямоугольные . Ьь к 1,. АВ аьЬь 1. А и В. Приведем некоторые свойства скалярного произведения матриц. Перестановочность АВ ВА. Распределительное свойство А ВС АС ВС. Если а и скалярные множители, то аА о рВ аРА о В. Пусть даиы матрицы Л К1Х. В 1МХ. АоВСЭ СВАГУ 1. АоВС СоВА 1. ХАХ. ХЛЛхХ 1.