Развитие метода сравнения для управляемых систем и вычислительная сложность вспомогательных подзадач

• Автор: Лакеев, Анатолий Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 366 с.

Содержание
Введение

1 Задачи управляемости динамических систем с непрерывным временем

1.1 Разрешимость функционального уравнения Персидского

1.2 Необходимые и достаточные условия с ВФЛ для эквиуправляемости, управляемости до диссипативности, эквиуправляемости и инвариантности терминального множества
1.3 Оценки скорости приближения к нулю обобщеннооднородных многозначных полу потоков и теоремы о динамических свойствах с ВФЛ

1.4 Алгоритмы построения функций Ляпунова и управления

для управляемости в ноль.

2 Некоторые задачи гармонизации интересов сторон

2.1 Математическая постановка задачи гармонизации интересов сторон

2.2 Достаточные условия разрешимости задачи сильной гармонизации и гармонизации по Нэшу для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
2.3 Гармонизация интересов сторон при платежах предприятий за загрязнение .
3 Анализ достижимости в цифровых схемах
3.1 Логикодинамическая модель процессов в цифровых
схемах.
3.2 Существование, единственность, продолжимость решений
уравнения 1.2
3.3 Существование и единственность переключательных процессов .
3.4 Квазимонотонные системы
3.5 Метод сравнения
3.6 Случай элементарных дизъюнкций.
3.7 Обращение теоремы сравнения для достижимости
3.8 Исследование свойства достижимости для монотонных систем с постоянными задержками
4 Метод сравнения для управляемых систем с дискретным временем и вычислительная сложность вспомогательных задач
4.1 Достижимость в дискретной динамической системе с параметрическими управлением и возмущением.
4.2 Общие системы линейных алгебраических систем уравнений с неопределенностью
4.3 Обобщенные множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений
4.4 Алгебраические уравнения в интервальной арифметике Каухера и уравнения с модулями.
Заключение
Литература


Возьмем липшицеву lj : Go —У Goc и решение уш уравнения (1. СОРс) uw(? О получаем равенство а;У(^0? Xo)) = жс(0, to»^(^о? U), хо) Е G. Так как функции хс и уш локально липшицевы, то и функция ljV будет локально липшицевой, а, следовательно, по лемме 1. Покажем теперь, что VJu)(t,x) = 0 для всех (i,x) Е G. Обозначим vc : Gc —у Goc,Vc{t,Xc) = жс(0, t,xc). Так как vc локально липшицева по хс. Vc{t,Xc(t,to,XOc)) — *Ес(6, t, Xc{tf io? Xq<:)) — Хс(ОЛо,Хос) = ^с(^0? Е Gc. Возьмем теперь липшицеву ш : Go —У Oqc. Положим Vu : G —> Goci К>(*> х) = ujV(t, х). При этом, как уже было замечено выше, K,(i, х) = ®c(0,t,vw(i,x)) = vc(t,vх) = Ус(? Дг,^(^х) + Дг/Д^гЦ^х))) - г/Д*,г/ы(*,х)). Зьд«^Д*»е»х) = ^(1. Далее при Д? ДДМ,х)|| < с\уы(г 4- Д*,х4* Д*/(*,х)) - х) - Д*/С(г,ч,(? Пт — игДД? Д«-И)Д? ФЗК). Итак, К,(1д)(? Липшице вом ш : Оо —> С{)с. Если при этом найдется (? К(Ы)(*о,хь) ф 0, то можно выбрать последовательность Д? У(«о +Д4,хо + Дг«/(^о»хо)) - Т(? Д*п|. Тогда, полагая = У(? Д*п,х0 4- Д? Т(^0,х0), выбирая по лемме 1. У«(1. Теорема 1. Отметим, что основная цель изучения решений уравнения (1. Поэтому нас интересовал в основном вопрос разрешимости уравнения (1. Теорема 1. Коши и не выполняться для уравнений с единственностью. Следующее утверждение показывает, что необходимые условия из теоремы (1. Введем следующее определение. Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1. СОРсо), если существует Сг* С Я1 X Оос И функция хс : С* —> Ес такая, что при любом хцс ? Мс(? Х0с)) € С? Лемма 1. Если для уравнения (1. СОРсм) и существует функция V : О —» С о такая, что К(0,х) = х при х €Е и У(1Л)(^х) = 0 при (? С, то для любой локально липшицевой и : Со —» С ос такой, что (^, сиУ(? Ст* при всех (? С, функция : С —> Яс, ! У(4,х)) будет решением (ФЗК). При этом, если У - локально липшицева по х, то и будет локально липшицевой по х. Доказательство. Равенство г/^О, х) = о/(х) очевидно. Покажем, что <Ч1. Дц,(г>х)). Д?,х + Д? Д?, ? Д^,^,х) = яс(? Д^ьЛ^* + Д? Д?/(? Д?,<д;У(? Д^^х) = хс(? Д?,и;У(*,х)) - жс(4,а>У(*,х)). В силу локальной липшицевости хс и ш при достаточно малом Д? Д?,? С\У(Ь + Д*,х + Д? К((,х)||. А так как ЦиД^х) = 0, то и ^иц(Д? Для 1У2(Д? Яс(г,ш/(г>х))) = /с(1,*с(«,«„(4,х)). Локальная липшицевость г;ш при условии, что V ~ локально липшицева, очевидна. Лемма доказана. Замечание 1. В случае, когда V локально липшицева по х, и для уравнения (1. СОР), как и в теореме 1. У(? Замечание 1. Если для уравнения (1. Р) ж(0,*,а(Мо,хо)) = ®((Мо,хо) при всех ? У(? V постоянна вдоль решения уравнения (1. У(1Л)(? Условие Р) будет выполнено, в частности, если через каждую точку области С проходит единственное решение уравнения (1. Таким образом, из леммы 1. Одним из таких условий будет локальная липшицевость / и /г . Для того, чтобы доказать это, нам потребуется следующее утверждение. Лемма 1. Пусть (Х,с1х),(У,с1у) и (. У(У0» Хо) € О > 0 ЗС > 0 У(у, X! Е Д^Уо, хо) П С ^г(у>(у>х0> ^(у, Х2)) < С(Ь(х 1>х2). Кс = {(у,х) е С I В(уо,хо) 6 К с1у(у0,у) < е & сг(х0,х) < е}. Доказательство. Очевидно, непрерывна и, следовательно, локально ограничена. Поэтому для любого (у, х) Е К найдутся 8 > О, М > О такие, что В&(у, х) С О и, если (у',х') € В* (у, х), то с? Шары Д$(у,х) образуют открытое покрытие К. Выберем конечное подпокрытие В<5,(Уь х1),. Ы,. Мп. Положим Со = . В^Ду^х^. Тогда для любых (у',х'),(у,/,х") Е Со, если (у',х') е В^{Ум. Му',х'),^(у". Му''>х")>|КУч,Х<а)) < М;, + М;г + , Х<1), ? М<р(У,Х1),? Сс/Х(хьх2). Уп,Х1„),^(уп,Х2п)) > Сп(1х(хп, х2п). Так как (уп, Х]П), (уп, х2п) € А*. Е К такие, что Ну(Уп,Уп) < е & ^х(хпу х1п) < еп. К силу компактности А' можно считать, что (у'п,х'я) -* (уо,х0) Е К. Далее, так как с*у(уп,у'«) < еп, <*х(х1п, х'1п) < еп и еп -> 0, то (у„,х1п) -? П,х2п) < ^ -> 0, то и (уп, х2п) —> (уо,х0). Но это противоречит липшицевости (р в некоторой окрестности (? Хо). Пусть еоуСоубо - такие, что, если (у,х0, (у,х2) Е К€0 и <2х(х1,х2) < 6о, то ^(