Математические методы исследования колебаний в системах со сложными гистерезисными нелинейностями

• Автор: Рачинский, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 261 с. : ил

Введение

Глава I. Колебания в системах с нелинейностью Прейзаха .

1. Системы с гистерезисными нелинейностями.

1.1. Гистерезисиые нелинейности . 1.2. Сложные модели гистерезиса .

1.3. Дифференциальные уравнения с гистерезисом .

2. Системы неидеальных реле

2.1. Неидеальное реле . 2.2. Система реле . 2.3. Эволюция состояний . 2.4. Непрерывность операторов входсостояние и входвыход .

2.5. Периодические выходы . 2.6. Периодические решения .

3. Континуумы вынужденных колебаний

3.1. Вращение векторных полей . 3.2. Операторы периодической задачи для ОДУ . 3.3. Использование априорных оценок решений . 3.4. Метод потенциальных оценок . 3.5. Замечания .

4. Колебания в автономных системах.

4.1. Кривые из положений равновесия . 4.2. Теорема о существовании циклов . 4.3. Малые колебания вблизи положений равновесия . 4.4. За мечаиия .
5. Доказательства
5.1. Доказательство утверждения у теоремы 1.1 . 5.2. Доказательство теоремы 1.2. 5.3. Доказательство теоремы 1.3. 5.4 Доказательство теоремы 1.4 . 5.5. Доказателтво теорем 1.5 и 1.6 . 5.6. Доказательство теорем о существовании циклов 4. 5.7. Доказательство теорем 1.9 и 1.
9.
Глава II. Устойчивость колебаний больших амплитуд в системах с
нелинейностями Маергойза.
6. Векторные системы реле
6.1. Гистерезисные нелинейности Маергойза 8. 6.2. Периодические состояния и выходы 1. 6.3. Нормальные состояния 3.
7. Бифуркация вынужденных периодических
колебаний из бесконечности.
7.1. Бифуркация в системе с гистерезисом 6. 7.2. Принцип смены индекса 7. 7.3. Существование точек бифуркации 8. 7.4. Число ветвей 0.
7.5. Устойчивость периодических решений 2. 7.6. Замечания 3.
8. Доказательство теоремы 2.
8.1. Вспомогательная лемма 5. 8.2. Доказательство теоремы 7.
9. Доказательство теорем 2.2 2.
9.1. Эквивалентные операторные уравнения 9. 9.2. Основное утверждение 1. 9.3. Вспомогательные леммы 3. 9.4. Доказательство теоремы 2.5 9. 9.5. Завершение доказательства теорем 2.2 2.4 2.
Глава III. Бифуркация Андронова Хопфа из бесконечности в системах с нелинейностями Ишлинского. Системы с нелинейностями
Гистерезисные нелинейности А.Ю Ишлинского
.1.Упор 5. .2. Нелинейность Ишлинского 8. 3. Периодические
состояния и выходы 0 .4.Нормальные состояния 1.
. Системы управления. Бифуркации Андронова Хопфа
.1.Одноконтурные системы управления 2. .2. Бифуркации Андропова Хопфа 6.
. Бифуркации Андронова Хопфа из бесконечности в системах с гистерезисом
.1. Точки бифуркации 0. .2. Бифуркация устойчивых циклов 2.
.3. Гистсрсзиспые возмущения гамильтоновой системы 5. .4. Замечания 7.
. Системы с нелинейностями Мроза.
.1.Нелинейность Мроза и ее свойства 0. .2.Неединственность решений задачи Коши 4. .3. Компенсатор нелинейности Мроза 7.
. Доказательства.
.1. Доказательство теорем 3.1, 3.2 0. .2. Доказательство теорем 3.3,
3.4 2. .3. Доказательство теорем 3.5 3.7 4.
итература
Введение
Актуальность


В 4 рассматриваются автономные системы с гистерезисными нелинейностями Прейзаха. Естественным образом определяются циклы и положения равновесия в основных ситуациях положения равновесия системы с гисте резисом если они существуют образуют непрерывные кривые. Предложен метод построения операторных уравнений, каждое решение которых определяет цикл и топологические характеристики которых просто вычисляются либо по асимптотике нелинейностей в окрестности положений равновесия, либо по асимптотикам в окрестности положений равновесия и на бесконечности. Уравнения рассматриваются в пространствах векторфункций переменной С при их построении использованы введенные в разделе 2. Прейзаха при периодических входах. Признаки отличия топологических характеристик операторного уравнения от нуля являются условиями существования циклов системы. В разделе 4. Прейзаха, где функция , ограничена, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет глобальному условию Липшица по обеим переменным. Предполагается, что у многочлена Ьр есть пара мнимых корней шо о 0 и выполнены условия нерезонансности Цпю, ф I при целых п ф 1 Пара хоо это положение равновесия для уравнения 0. Существование положений равновесия вытекает из ограниченности функции х, у и соотношения ф 0. Знак частной производной дгхо,о определяет топологические характеристики эквивалентного задаче операторного уравнения в окрестности положений равновесия. Топологические характеристики на бесконечности определяются асимптотическим поведением при г со проекций нелинейностей на двумерное подпространство периодических решений х гяпк ф линейного уравнения Цх 0. Выяснено, что значения входновыходного оператора гистерезисной нелинейности асимптотически близки к значениям оператора суперпозиции х1 нэ . Л ц,0 дехдр
это предельное значение выходов гистерезисной нелинейности Прейзаха при неограниченно возрастающих монотонных входах при таких входах состояние каждого индивидуального репе равно 1 для всех достаточно больших Ь. Этот факт приводит к простым формулам дпя топологических характеристик на бесконечности. Вводится функция
г увп Г8П,оА У 8П Г8П, Цц1. Теорема 1. Пусть корни о многочлена Ьр и корни гсо многочлена пЬр имеют одинаковую нечетную кратность. Пусть г с 0 при всех г г, п знак производной дхо. Пусть функция х. Липшица с достаточно малыми коэффициентами. Тогда у уравнения 0. Если в каждом положении равновесия верпа оценка дгх0,ог, 0, то для всех циклов с достаточно близкими к 2гм. Яи гд у уравнения 0. В теореме 1. Липшица функции х,у, гарантирующие существование циклов у уравнения 0. Показано, что у уравнения 0. Липшица достаточно малы. В разделе 4. Результаты основаны на следующем простом наблюдении стандартные в задачах о бифуркации Андронова Хопфа для обыкновенных дифференциальных уравнений предположения о главной линейной части системы при линеаризации в окрестности кривой из положений равновесия гарантируют существование континуума циклов в любой сколь угодно малой окрестности одного из положений равновесия системы с гистерезисом. Прейзаха, с I. Предполагается определенной непрерывная кривая Г С Ет1. Считается, что в окрестности кривой Г функция . А непрерывно дифференцируема но переменной г и удовлетворяет условию Липшица по переменной Л. Линеаризация , А ЛАс го со в точках кривой Г определяет непрерывно зависящую от скалярной переменной А квадратную матрицу ЛА. Основное предположение заключается в том, что хотя бы для одного положения равновесия М0 го, А0 Г спектр матрицы Л Ар содержит пару простых собственных значений i 0 и не содержит точек шло при целых п ф 1. Через i обозначается пара простых собственных матрицы 4 таких, что тА0 0. А,адА определены в окрестности точки Ао. Теорема 1. Пусть функция тА принимает значения обоих знаков ь каждой окрестности точки А А,. Тогда у системы 0. Мо есть континуум циклов, зависящих от скалярного параметра г 0 и различных при различных г. При г 0 расстояние от циклов до положения равновесия Мо и диаметры циклов стремятся к нулю, их периоды стремятся 2. В заключительной теореме 1.