Минимаксные оценивание и оптимизация параметров стохастических систем по вероятностным критериям

• Автор: Попов, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил.

1 Минимаксное оценивание параметров

1.1. Основные обозначения

1.2. Постановка задачи минимаксного оценивания. Критерии

1.3. Прямая и двойственная задачи. Терминология

1.4. Оценивание параметров линейных моделей

1.4.1. Модель. Постановка задачи. Критерий.

1.4.2. Минимаксное оценивание в случае известной ковариационной матрицы .

1.4.3. Минимаксное оценивание в случае неизвестной ковариационной матрицы .

1.4.4. Существование наихудшего распределения вектора случайных парамегров

1.5. Оценивание параметров нелинейных моделей.

1.5.1. Модель. Постановка задачи. Критерий.

1.5.2. Оценка параметров модели
2 Минимаксное линейное стохастическое программирование в условиях неопределнности
2.1. Постановка задачи оптимизации билинейного функционала
2.2. Ошибки оптимизации и неопределенность случайных параметров .
2.3. Оптимизация по вероятностному критерию.
2.3.1. Случай нормального распределения вектора возмущений с точно заданными характеристиками .
2.3.2. Случай неизвестного распределения вектора возмущений с точно заданными характеристиками .
2.3.3. Случай неизвестного распределения вектора возмущений с неточно заданными характеристиками.
2.4. О наихудшем распределении вектора возмущений
2.4.1. Постановка задачи.
2.4.2. Наихудшее распределение вектора возмущений.
3 Алгоритмы минимаксной оптимизации
3.1. Аналитические методы оптимизации. Виды множеств неопределнности
3.2. Аналитическое представление наихудших характеристик закона распределения
3.3. Численные методы оптимизации
3.3.1. Алгоритм решения двойственной задачи.
3.3.2. Вероятностная оптимизация с линейной функцией потерь
3.3.3. Вероятностная оптимизация с квадратической функцией потерь
4 Задачи оценивания и оптимизации
4.1. Задачи оценивания и прогнозирования движения летательного аппарата в условиях неопределенности
4.1.1. Минимаксное оценивание параметров линейной модели движения летательного аппарата.
4.1.2. Минимаксное оценивание параметров нелинейной модели движения летательного аппарата.
4.1.3. Прогнозирование движения
4.2. Задачи экономической теории в условиях неонределнности.
4.2.1. Задача построения оптимального портфеля ценных бумаг
4.2.2. Задача оценивания параметров трендов макроэкономических показагелей.
4.3. Задача экспертного оценивания в условиях неонределнности.
Заключение

Введение


Согласно адаптивному подходу сначала строится статистическая оценка вектора возмущений модели статистически неопределнной системы, после чего становится возможным использование оптимальных методов при условии замены неизвестных характеристик системы их оценками. Согласно минимаксному подходу оценивание и оптимизация параметров производятся так, чтобы они были оптимальны в случае реализации наименее благоприятных возмущений модели. В диссертационной работе используется минимаксный подход. В результате минимаксного оценивания и оптимизации параметров модели но некоторому априорно выбранному критерию полученные значения параметров являются устойчивыми к допустимым значениям возмущений. Таким образом, минимаксные алгоритмы оптимизации и оценивания являются робастными. X, Рд закон распределения вектора возмущений . Закон распределения РЛ принадлежит классу законов распределения V, который содержит все распределения вектора Е т задан векгор математического ожидания, со, V задана ковариационная матрица вектора . Рг в 0. Значения данного функционала характеризуют оптимальность выбора значений параметров. Выбор критерия должен удовлетворять некоторым известным требованиям ,,. В диссертации в каждом конкретном случае известно, что рассматриваемый критерий качества обладает необходимыми свойствами. Заметим, что в задачах теории и практики критерий качества x, может иметь много представлений. РЛ вероятность события А, х, некоторая функция потерь. В случае, когда критерий . РЛ является стохастическим функционалом при известном распределении РЛ вектора Я, задача была исследована с использованием минимаксных методов в работах В. В. Малышева, М. Н. Красилыцикова, А. Р. Панкова, Л. И. Кибзуна, Ю. С.Кана ,,,. В работах Красовского , М. Л. Лидова , А. Р. Панкова , А. И. Матасова , Б. Ц. Бахшияна, Назирова, П. Е. Эльясберга 3, В. И. Карлова рассматривался случай, когда неопределенность вектора возмущений системы описывается априорно заданными множествами, которым принадлежат его ковариационная матрица и вектор математического ожидания. Заметим, что использование распространнного среднеквадратического критерия качества не позволяет отвечать на важные вопросы о вероятностных характеристиках получаемых оценок и стратегий оптимизации. Отсюда следует, что задача оценивания параметров по вероятностному критерию, которая решена в диссертации для систем, описываемых линейными регрессионными уравнениями, является актуальной. Решение данной задачи осложнялось присутствием неопределенностей смешанного типа. А именно, вектор возмущений ошибки наблюдения модели имел неограниченные неслучайные компоненты и случайные компоненты. Информация о случайных компонентах вектора ошибки наблюдения исчерпывалась некоторым априорно заданным множеством неопределенности. Далее приводится постановка этой задачи. В диссертации с использованием вероятностного критерия качества также рассматривается задача оптимизации линейной функции потерь. Постановка задачи приводится ниже. Сами решения, получаемые в результате решения указанных задач, далее называются минимаксными. До настоящего времени минимаксный подход к оптимизации статистически неопределнных систем по вероятностному критерию практически не был разработан. Используемый подход для решения минимаксной задачи в диссертации основан на неравенствах КошиБуняковского и Чебышва. Vx x x, ,
где , множество элементов, 1 x x, Vx vx,Лх. Приведнный алгоритм носит название прямого метода прямой задачи. Для решения прямой задачи минимаксной оптимизации могут быть использованы различные численные методы. Однако, практически, решение прямой задачи сопряжено со многими трудностями. В качестве недостатков решения прямой задачи можно выделить следующие применение известных численных методов решения прямой задачи сужает допустимые множества вектора параметров Хл а использование метода штрафных функций приводит к появлению эффекта овражности оптимизируемого функционала. Решение прямой задачи, как правило, на практике также может быть сопряжено с такими трудностями, как отсутствие гладкости, аналитического выражения прямого функционала. Решение же двойственной задачи для рассматриваемых в диссертации проблем не содержит указанных трудностей .