Методы решения выпуклых задач оптимизации и управления системами с сосредоточенными параметрами

• Автор: Карюкина, Юлия Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .
ГЛАВА 1. ДВОЙСТВЕННЫЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ КОНЕЧНОШАГОВЫЙ МЕТОД В ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ.

1.1 Общие и вспомогательные утверждения.

1.2 Описание метода и сходимость .

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ КОНЕЧНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ И УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА В ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ.

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Аппроксимация множеств для ограничений

типа неравенств .

2.3 Конечношаговые методы проекции и условного

градиента.
2.4 Регуляризованный метод для двойственной
задачи
ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
3.1 Постановка задачи. Свойства параметров модели
3.2 Определение вида множества достижимости
3.3 Исследование задачи оптимального управления.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
4.1 Некоторые классы выпуклых задач
оптимального управления
4.2 Результаты вычислительных экспериментов
для выпуклых задач оптимизации.
4.3 Результаты вычислительных экспериментов
для экономической модели
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Многие процессы важные для современной техники и экономики управляемы, то есть, эти процессы могут протекать различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос, как управлять процессом наилучшим образом (оптимально), как применять для этих целей математические методы. Математически сформулированные вопросы являются задачами оптимального управления. По данной тематике опубликовано множество работ (см. При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления, как и в других областях вычислительной математики, возникает проблема построения эффективных и обоснованных численных методов. При этом важно априори знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям, и иметь оценки скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б. М.Будака, Ф. П.Васильева, В. В.Васина, Р. Ф.Га-басова, А. Дончева, А. И.Егорова, Ю. М.Ермольева, Ю. Г.Евтушен-ко, В. Г.Карманова, М. М.Потапова, А. З.Ишмухаметова, Ф. М.Кирилловой, В. Б.Колмановского, П. С.Краснощекова, А. Б.Куржанского, Ж. Л.Лионса, П. Ж.Лорана, Н. Н.Моисеева, Ю. С.Осипова, В. И.Плот-иикова, А. Н.Тихонова, В. М.Тихомирова и многих других (см. В теории оптимизации, в частности, в задачах математического программирования при разработке численных методов актуальными являются вопросы их практической реализуемости, эффективности и доведения их до алгоритмов. К таким вопросам относятся разработка методов, алгоритмов без бесконечных внутренних вычислительных процедур, поиск и формулировка критериев, правил останова. Отметим, что данной проблеме посвящено большое количество работ. Библиографию по этим работам можно найти, например, в [6, 8, , , , , , , , ]. Предлагаемые в данной работе методы направлены на решение этих вопросов. Они построены на основе метода регуляризации (см. Для них получены критерии останова, доказаны оценки скорости сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к нормальному оптимальному элементу. Они в абстрактном, для бесконечномерных гильбертовых пространств предложены в [, ]. В конечномерных задачах они имеют свои особенности, в частности, это связано с эквивалентностью слабой и сильной топологий, отсутствием конечномерных аппроксимаций, присущей для бесконечномерных задач. Кроме того отметим, что обоснование методов проводится при условии непрерывности градиентов целевой и функций ограничений и рассматриваются случаи, когда параметр регуляризации можно положить равным нулю, т. В этом случае методы сводятся к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений. Также в данной работе рассматривается динамическая модель управления производством, хранением и сбытом товаров повседневного спроса. Модель потенциально позволяет учитывать особенности рыночной экономики при производстве потребительских товаров. Также показывается, что для адекватного описания процессов необходимо учитывать их динамический характер, поскольку только в этом случае можно дать правильную интерпретацию особенностей наблюдаемых явлений и выбрать правильную стратегию производства и развития. Описан способ реализации стратегии производства, обеспечивающей его максимальную доходность. Разработанная модель, в некотором смысле, является базовой: на ее основе могут строиться новые модели, учитывающие влияние других факторов. Отметим работы в этом направлении [, , ]. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации, обоснована актуальность темы исследования и сформулированы результаты работы. В главе 1 для решения конечномерных выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с условием Слейтера, и в которых сумма целевой функции и функций ограничений является строго равномерно выпуклой, предложен и обоснован численный метод, основанный на решении двойственной к исходной регуляризованной задачи. Для этого метода получены условия сходимости, оценки сходимости по функционалу, по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к g - нормальному решению.