Методы обработки символьной информации и математическое моделирование в исследованиях теоретических моделей космической динамики

• Автор: Прокопеня, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01, 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 229 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .

Общая характеристика работы.

1. Обзор научных результатов по ньютоновой

проблеме многих тел

1.1. Постановка ньютоновой проблемы многих тел.

1.2. Проблема интегрируемости дифференциальных

уравнений движения.

1.3. Поиск и исследование точных частных решений

1.4. Ограниченные задачи многих тел.

1.5. Основные понятия и теоремы об устойчивости,

используемые в космической динамике
2. Новые классы томографических решений задачи многих тел
2.1. Определение и свойства томографических
решений по Винтнеру
2.2. Конфигурационное пространство Нехвила.
Условие существования томографических решений
2.3. Симметричные томографические решения задачи четырех тел .
2.4. Центральные конфигурации системы четырех тел в плоскости .
2.5. Томографические многоугольники в проблеме
рп1 тел.
3. Классические и современные методы исследования устойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами.
3.1. Методы теории возмущений для вычисления характеристических показателей системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
3.2. Символьные вычисления характеристических показателей методом бесконечных определителей.
3.3. Определение границ между областями устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров системы
3.4. Нормализация неавтономной линейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений с малым параметром
4. Исследование устойчивости стационарных решений
в ограниченных задачах томографической динамики.
4.1. Дифференциальные уравнения ограниченной задачи
многих тел. Определение положений равновесия
4.2. Анализ устойчивости равновесных решений
в первом приближении
4.3. Исследование линейной устойчивости равновесного
решения обобщенной задачи Ситиикова.
4.4. Устойчивость по Ляпунову равновесного решения
обобщенной задачи Ситникова
4.5. Устойчивость равновесного решения при наличии
резонанса четвертого порядка
5. Исследование устойчивости томографических решений
в задаче многих тел.
5.1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения
5.2. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости томографических многоугольников.
5.3. Теорема о неустойчивости ромбоподобных конфигураций
в задачах четырех и пяти тел.
6. Исследование устойчивости цилиндрической прецессии
динамически симметричного спутника
на эллиптической орбите.
6.1. Линеаризованные уравнения возмущенного движения.
Области устойчивости цилиндрической прецессии
в случае круговой орбиты спутника.
6.2. Области неустойчивости цилиндрической прецессии в окрестностях точек простого параметрического
резонанса при 32 .
6.3. Теоремы о линейной устойчивости и неустойчивости цилиндрической прецессии в случае 32
Заключение.
Список использованных источников


Отметим, что использование современных систем компьютерной алгебры является весьма существенным условием успешной работы в этом направлении []. Несмотря на то, что проблема интегрирования уравнений движения в задаче многих тел оказалась очень сложной, попытки ее решения никогда не прекращались. Одним из направлений исследований в этой области стал поиск точных частных решений. Хотя не всегда такие решения имеют непосредственное практическое значение, их исследование чрезвычайно важно и имеет глубокий теоретический смысл [,, , ]. Так как задача трех тел является следующей по сложности после задачи двух тел, многие ученые начинали свои исследования именно с этой задачи. В г. Л. Эйлер показал, что при подходящих начальных условиях три тела Р2 и Р} могут двигаться равномерно с одинаковой угловой скоростью по окружностям, лежащим в одной неизменной плоскости, центры которых совпадают с центром масс системы. При этом в любой момент времени тела находятся на одной прямой. Это были первые точные частные решения задачи трех тел, которые получили название коллинеарных решений. Спустя пять лет Ж. Лагранж показал, что тела могут располагаться не только на одной прямой, но и находиться в вершинах равностороннего треугольника, который вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс системы. Кроме того, тела могут двигаться не только по окружностям, но и по подобным кеплеровским орбитам. Заметим, что хотя вначале казалось, что решения Лагранжа и Эйлера представляют лишь математический интерес, впоследствии выяснилось [7], что оба типа найденных решений реализуются в Солнечной системе. Поскольку решения Эйлера и Лагранжа получаются только при определенных начальных условиях, естественно, возникает вопрос - какими будут решения уравнений движения (1. Поскольку ответить на него в общем случае задачи трех тел оказалось очень трудно, К. Якоби и А. Пуанкаре была предложена упрощенная модель этой задачи - так называемая "ограниченная задача трех тел" []. Суть этой модели состоит в том, что масса одного из тел, например, Рг считается настолько малой по сравнению с массами двух других тел, что это тело практически не влияет на их движение. Поэтому тела Р, и Р2 движутся вокруг их общего центра масс по кеплеровским орбитам, определяемым соответствующей задачей двух тел. В простейшем случае плоской круговой задачи тела Р, и Р2 движутся по окружностям, а тело Р3 движется в плоскости их орбит. Очевидно, решения Эйлера и Лагранжа существуют и в такой задаче. Во вращающейся системе координат они определяют положения равновесия тела Р3 и называются соответственно прямолинейными и треугольными точками либрации. Теперь поставленный выше вопрос принимает следующую форму - как будет вести себя тело Р3, если его вывести из положения равновесия? Будет ли оно все время двигаться в некоторой ограниченной окрестности положения равновесия или наоборот будет удаляться от него? Другими словами, являются решения Эйлера и Лагранжа круговой ограниченной задачи трех тел устойчивыми или нет? Эта "упрощенная'’ проблема оказалась не менее сложной, чем интегрирование уравнений движения, и для ее решения потребовалось около двухсот лет. Этапы ее исследования, а также вклад различных ученых, достаточно подробно описаны во многих работах [-]. Заметим лишь, что она стимулировала разработку качественных и асимптотических методов исследования дифференциальных уравнений [4, 5, ], теории устойчивости [], общей теории динамических систем [], которые привели в конечном итоге к созданию КАМ-теории [-, ]. Эти достижения представляют собой достаточно мощный арсенал средств для исследования проблем космической динамики. Тем не менее, остаются и нерешенные проблемы, например, проблема устойчивости многомерных систем []. К ним относятся и системы многих тел, для которых существуют точные решения уравнений движения. С другой стороны, изучение различных частных случаев, по мнению Л. Эйлера, лучше всего поможет понять основные трудности, стоящие на пути общего решения задачи многих тел [].