Методы исследования робастной устойчивости в системах управления

• Автор: Стрюк, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 146 с. : ил.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Обзор матричных, частотных, рекуррентных и вычислительных методов исследования устойчивости.

1.1. Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.

1.2. Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения.

. Частотные методы А.В.Михайлова и Найквиста.

1.4. Рекуррентные методы понижения порядка Глава 2. Обзор методов исследования робастной устойчивости.

2.1. Типы неопределенности в линейных системах управления.

2.2. Исследование робастной устойчивости полиномов.

2.3. Исследование робастной устойчивости матриц.

2.4. Робастная устойчивость одномерных систем описанных неопределенными передаточными функциями.
Глава 3. Метод допустимых линейных преобразований для решения задач робастной устойчивости полиномов. Условия устойчивости выпуклых матричных множеств.
3.1. Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований.
3.2. Критерии существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома.
3.3. Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления.
Заключение.
Список литературы


Самым известным критерием, дающим условия налагаемые на коэффициенты характеристического многочлена для того, чтобы его корни находились слева от мнимой оси, является критерий Гурвнца. В литературе имеется несколько доказательств этой теоремы, например, два доказательства в []. Первое основано на теореме Штурма и алгоритме Рауса, а второе — на свойствах ганкелевых матриц и индексов Коши. Поэтому этот критерий часто называют критерием Рауса - Гурвнца. Ниже мы рассмотрим другое доказательство [7]. Напомним несколько хорошо известных определений и свойств многочленов. Определение 1. Я1*+. Очевидно, что условие а0 > 0 обеспечивает отсутствие у стандартного полинома нулевых корней, а условие а„ *0 означает, что полином (1. Определение 1. Если все корни полинома /(г) степени п, /? Ие2 <0,то он называется полиномом Гурвнца. Заметим, что такие полиномы называют устойчивыми [] или абсолютно устойчивыми полиномами. Определение . Г(г) = (1 + аг)Д2) + /(-2), а > 0 (1. Теорема 1. Стодола). Условие положительности коэффициентов стандартного полинома является необходимым для того, чтобы он был Гурвицевым. Доказательство приведено в приложении 1, стр. Замечание 1. Если у стандартного полинома имеются коэффициенты а,< 0, / = 1,я, ТО ЭТОТ ПОЛИНОМ не является Гурвицевым, T. C. существует ХОТЯ бы ОДИН корень Zq, что Rczq >0. Болес того, если у стандартного полинома имеется хотя бы один коэффициент а* < 0, то существует корень zq такой, что Rezo > 0. Замечание 1. Для я = 1,2 условие положительности коэффициентов стандартного полинома является необходимым и достаточным для того, чтобы этот полином был Гурвицевым. Замечание . Если для полинома известно, что а$ <0, ап *0, то из локализации всех его корней в левой полуплоскости следует отрицательность всех его коэффициентов. Пусть Нп (л = 1,2,. Гурвица степени п. Лемма 1. Полином, присоединенный к стандартному полиному Гурвица, является стандартным полиномом Гурвица, точнее, если /(z)g//„, то и F(z) = Saf(z)e Нп+j для любого а > 0. Доказательство приведено в приложении 1, стр. Лемма 1. Если стандартный полином /(z) степени л не имеет чисто мнимых корней и его т (т<я) корней лежат в левой полуплоскости, то присоединенный к нему полином F(z) степени я + 1, будучи стандартным полиномом, тоже не имеет чисто мнимых корней, и его w + 1 корней лежат в левой полуплоскости. Доказательство приведено в приложении 1, стр. Замечание 1. Из леммы 1. F(z), присоединенный к стандартному полиному /(z) степени я, не имеющему чисто мнимых корней, является полином Гурвица степени я+1,то полином /(z) тоже является полином Гурвица. Доказательство от противного. Если бы /(z) g Нп, то по лемме 1. F(z) g Нп+j, т. F(z) справа от мнимой оси совпадало бы. Лемма 1. Для любого стандартного полинома Гурвица степени п +1 (я > 1) существует стандартный полином Гурвица степени п, по отношению к которому данный полином является присоединенным. F(z) = (1 + az)f(z) + /(-z) = Saf(z). Доказательство приведено в приложении 1, стр. Замечание 1. Пусть полином F(z) = А0 + /l1z+. J+1z'? А> 0. Тогда существует порождающий его стандартный полином f(z) = #0 +tf|Z+. F(z) является присоединенным к полиному /(г). Очевидно, это следует из доказательства леммы 1. А /Aq >0). Замечание 1. Из лемм 1. Гурвица Я можно построить из семейства всех стандартных полиномов Гурвица первой степени Н и последовательного применения операции присоединения. Я1,Я3=5а2Я2,. Я = Я1и^1Я|и^2^1Я1и. А: = 1,оо. Определение 1. Матрицей Гурвица стандартного полинома (1. Нечетные столбцы этой матрицы состоят из нечетных коэффициентов полинома (1. Причем каждый последующий нечетный (четный) столбец получается из предыдущего нечетного (четного) столбца «сдвигом» всего столбца на одну «позицию» (строку) вниз. Заметим, что в литературе матрица Гурвица записывается по разному, в зависимости от нумерации коэффициентов полинома и перемены местами строк и колонок. Часто коэффициент при старшей степени считают равным единице. Для запоминания схемы построения матрицы Гурвица для полинома апгп +. Для построения строк возьмем последовательность чисел: 0,0,. Причем строка с номером к представляет собой такой отрезок, в котором элемент а* находится на А:-ом месте, т.