Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями

• Автор: Хаметов, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 196 с.

Введение
Глава 1. Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов
Введение

1. Области, функциональные пространства гладких функций .

2. Измеримые пространства с мерой.

г 3. Некоторые сведения из теории обобщенных функций

4. Сведения из теории вероятностей

5. Элементы теории случайных процессов

Глава 2. Гланый член асимптотического разложения в целом решения задачи Коши для уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями
Введение

1. Постановка задачи. Вспомогательные результаты и замечания

2. Априорные оценки для решения уравнения 1.4 и его производной по я
3. Априорные оценки для производных и ухх решения уравнения 1.4
V
4. Предельный переход в уравнении ГамильтонаЯкобиБеллмана
5. Существование главного члена асимптотического разложения
в целом решения задачи Коши для уравнения 1.4
б. Примеры.
Заключение по главе 2.
Глава 3. Асимптотика в малом решения задачи Коши для уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями
Введение
1. Постановка проблемы построения асимптотики в малом решение задачи оптимального управления с малыми случайными возмущениями .
2. Оценки вторых производных ухх и решение задачи Коши
для уравнения 1.4
3. Главный член асимптотического разложения в малом решения задачи Коши для уравнения 1.4.
4. Априорная оценка третьей производной по х решения задачи
Коши для уравнения 1.4 равномерная по е,Ь,х
5. Второй член асимптотического разложения в малом решении
задачи Коши для уравнения 1.4 .
б. Доказательство теоремы 1.
7. Пример
Заключение по главе
Глава 4. Асимптотика в целом решения задачи Коши для уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возму
щениями
Введение
1. Постановка задачи. Формулировка основного результата .
2 Вспомогательные построения
3. Уравнения для второго члена асимптотического разложения
в целом и условия его разрешимости.
4. Доказательство основного результата теоремы
Заключение но главе 4.
Литература


Пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в нем. Определение. Множество А С В называется плотным в В, если замыкание Л, обозначаемое через Л, таково, что Л Э В. Множество Л называется всюду плотным в пространстве Я, если Л Э Е, при этом само пространство Е называют сепарабельным. Определеш1е. Метрическим пространством называется пара Х,р, состоящая из некоторого множества пространства X элементы точки которого обозначаем через х,у и расстояния, т. IV рх,г рх,уру,г. Определение. Полное сепарабельное метрическое пространство называется польским. Определение. Полное нормированное пространство называегся банаховым. Измеримые пространства. Л ш если А , то Б Л . Любое множество Л 6 называется измеримым. Известно , , что существует наименьшая оалгебра, содержащая все множества из . Эту алгебру мы будем обозначать через ВЕ. При этом если Е Я1 Б Яп, то ВЯ1ВЯп называют бореяевской сгалгеброй в Я1Яп, а множество А е ВЯ1ВЯп борелееским. Соглашение. Везде ниже мы полагаем, что ВЕ. Определение. Функцию ЕЯп Я1 назовем измеримой бореяевской, если для любого В ВЯ1 х Яп я В ВЕВЯ. Через оо, обозначим банахово пространство измеримых функций . Определение. Пусть Е некоторое пространство, а ВЕ сгалгебра. Пара Е, ВЕ называется измеримым пространством. Определение. Измеримое пространство , называется борелевским, если оно изоморфно измеримому подмножеству В С X полного сепарабельного метрического польского пространства. Измеримые пространства с мерой. Определение. Пусть Е, измеримое пространство. Функция множеств V я называется зарядом, если она счетно аддитивна. Определение. Счетно аддитивная функция множеств на , р Я называется мерой. Определение. Мера х называется конечной, если д оо. Конечная мера ц называется вероятностной, если цЕ 1. Определение. Мера х называется аконечной в Е, если существует семейство множеств Лпп, причем Ап для любого п, такое, что ЕС и Л и хА оо для любого п 1. Известно , , что любой заряд и в Е, допускает единственное разложение А хА хА, где УА , а и х меры на 5. Измеримое пространство . Я,ВЯ,х. Через БЕ обозначим совокупность подмножеств АСЕ, для которых найдутся такие множества С, И ВЕ, что С С А С И, причем хА 0. Равенством хА д определяется мера на ВЕ. Таким образом, построенное Е, 1, х называют пополнением Е, ВЕ,р относительно меры х. Соглашение. Считаем, что все рассматриваемые ниже измеримые пространства с мерой полные, т. Пространство Ьу. Определение. Регулярным зарядом и в И С ВР назовем любую счетно аддитивную действительную функцию, определенную на , конечную на всяком открытом множестве А лежащем вместе со своим замыканием А в И. Определение. В 1. Пространство v банахово. Сходимость по мере р, р почти всюду, р почти всюду равномерно. Определение. Будем говорить, что измеримые функции х и дх на Ер эквиваленты, если рх Е х х 0. Определение. Определение. Я1, р почти всюду, если дх Я i пх оя 0. Последнее означает, что каковы бы ни были е 0 и х Е0 где Е0 фиксированное множество р меры нуль, можно указать, такое целое число Лх,, что для всех пя если х , 1ЛЖ хI , если гс оо. Определение. Будем говорить, что последовательность функций пп1 принимающих конечные значения, фундаментальна р почти всюду, если каковы бы ни были е 0 и точка х Е , где Ео фиксированное множество р меры нуль, можно указать такое целое число Vx,, ЧТО для всех 1, и X е Е Е0 Iтз п . Определение. Последовательность измеримых функций ппь где п Е Я1 для любого п 1, называется сходящейся р почти всюду равнолгерно к функции о Е Я1, если существует такое множество Ео множество р меры нуль, что каково бы ни было е 0, существует целое число 0 Лг0е такое, что п оя Для всех и для всех х Е Ео. Определение. Известно , что последовательность измеримых 4функций сходится почти всюду равномерно тогда и только тогда, когда она фундаментальна р. Известно , что если последовательность пп 1 сходится по мере р к о, то существует подпоследовательность П 1 такая, что сходится к о р почти всюду равномерно. Интеграл Лебега. Лебеговы пространства. Через хрдх, где В , обозначим инте
грал Лебега , .