Системный анализ устойчивости нелинейных динамических систем

• Автор: Тихомиров, Олег Геннадьевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Введение
Глава I. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Постановка, задачи и основные предположения.

2. Свойства однородных функций и решений систем однородных

дифференциальных уравнений

3. Вспомогательные результаты

4. Асимптотическая устойчивость систем однородных нестаци

онарных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют среднее.

5. Оценка области асимптотической устойчивости.

6. Обзор основных результатов .

Глава И. АНАЛИЗ ДИССИПАТИВНОСТИ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
1. Постановка задачи и основные предположения
2. Теорема о равномерной диссипативности систем однородных
дифференциальных уравнений
3. Обзор основных результатов .
Глава III. СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Постановка задачи и основные предположения
2. Влияние возмущений на устойчивость систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений
3. Стабилизация одного класса нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений
4. Обзор основных результатов
Заключение
Список литературы


В результате приходится рассматривать члены более высокого порядка. Эта задача получила дальнейшее развитие в следующих работах [], []. В некоторых случаях приходится исследовать системы, разложение которых в ряд не содержит линейных членов. В результате этого задача сводится к исследованию систем с однородными правыми частями. Исследованием таких систем занимались Красовский И. H., Малкин И. Г., Зубов В. И. Было показано [], [], что возмущения более высокого порядка однородности не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Также были получены оценки па решения системы в том случае, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым. Зубовым B. PI. Также им было показано, что при зюловии асимптотической устойчивости нулевого решения системы существует однородная функция Ляпунова, при этом данная функция является столько же раз непрерывно дифференцируемой, как и правые части системы. В случае, когда правые части являются нестационарными, анализ устойчивости значительно усложняется. В своей работе Ляпунов предложил подход, который позволяет решить эту проблему, когда правые части являются периодическими функциями, но для более общего случаи задачи не была решена. Развитием данного метода занимались такие ученые, как Ван-дер-Поль Б. Боголюбов Н. Н.[7],[8|, Митропольский К). А.[]. Было строго математически обосновано применение данного метода, а также получена оценка отклонения решения исходной системы от решения усредненной системы на конечном и бесконечном интервале. Полученные результаты были сформулированы для достаточно широкого класса систем и в следствие этого предполагались сильные ограничения на правые части уравнений. В случае однородных правых частей удается значительно ослабить данные ограничения. Александров А. К). Н]{х) - однородные функции порядка /х > 1 и о > 1 соответственно. Ляпунову и на основе этого делался вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Основным методом исследования являлся метод оценок []. Нами будет получен похожий результат в первой главе, но в основу исследования будет положен второй метод Ляпунова. Будет несколько усилено условие на правые части системы, за счет этого можно будет гарантировать равномерную устойчивость нулевого решения исходной системы. Ляпунова. На основе стандартных методов будет предложен механизм для оценки области асимптотической устойчивости для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, для которых существует среднее. В работах Александрова А. Ю. были также исследованы различные случаи возмущающей функции Ь8]((). Для случая, когда интеграл от этой функции ограничен, были получены условия на порядки однородности // и а, при которых нулевое решение возмущенной системы остается устойчивым. Похожие условия, только в более общем случае, будут получены нами в третьей главе. Основной целью второй главы является исследование нестационарных однородных систем, для правых частей которых не существует среднее. Приводятся примеры, которые показывают, что из устойчивости системы при любом «замороженном» моменте времени не следует устойчивость исходной системы. Получены условия, при которых система однородных нестационарных дифференциальных уравнений является равномерно диссипативной. Сформулирована и доказана соответствующая теорема. В третей главе рассматриваются различные тины возмущений, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. В качестве возмущающих функций будут рассматриваться различные однородные нестационарные функции. В первую очередь интерес представляют функции, порядок однородности которых меньше чем порядок однородности правых частей исходной системы. Во второй части главы исследуется управляемая система нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений. На основе результатов, полученных в первой и третей главе, формулируется несколько теорем о стабилизации данных систем. Диссертация основа на результатах автора, опубликованных в статьях [), [], [), [], [].