Полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления: теория и применения

• Автор: Филимонов, Николай Борисович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 392 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ.

1.1. Элементы полиэдрального анализа

1.2. Элементы полиэдрального программирования.

1.2.1.1 Остановка и особенности общей задачи

полиэдрального программирования

1.2.2. Постановка и редукция основных типовых задач полиэдршшюго программирования к задачам

линейного программирования.

1.2.3. Редукция общей задачи полиэдрального программирования к задаче безусловной полиэдральной оптимизации методом точных полиэдральных штрафов
1.3. Элементы полиэдрального исчисления и условия полиэдрального экстремума.
Выводы по главе 1.
Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ
ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.
2.1. Задача безусловной полиэдральной оптимизации и современные технологии жестких и мягких
вычислений.
2.2. Непрямой метод жестких вычислений субградиентный
метод оптимизации
2.2.1. Основные положения и традиционная вычислительная реализация субградиентного метода оптимизации
2.2.2. Нейросетевая реализация субградиентного метода оптимизации
2.3. Прямой метод мягких вычислений эволюционный
метод оптимизации
2.3.1. Стохастическая парадигма оптимизации и концепция эволюционных вычислений
2.3.2. Основные положения и алгоритмическая реализация эволюционного метода оптимизации
2.3.3. Настройка параметров и тестирование алгоритма эволюционной оптимизации
Выводы по главе 2.
Глава 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
3.1. Постановка общей задачи оптимизации дискретных
процессов управления
3.2. Проблема выбора критерия качества и критика
парадигмы квадратичной оптимизации
3.3. Полиэдральные критерии качества процессов управления.
3.4. Полиэдральные цели и ограничения процесса управления.
3.5. Постановка общей задачи полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления.
Выводы но главе 3.
Гпава 4. ПОЛИЭДРАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ДИСКРЕТНОГО
УПРЕЖДАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ.
4.1. Ретроспектива и современное состояние проблемы упреждающего управления.
4.2. Идея и особенности полиэдральной стратегии
дискретного упреждающего управления.
4.3. Обоснование полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления.
4.4. Обобщение полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления на нелинейные объекты
4.5. Алгоритмизация полиэдральной стратегии
дискретного упреждающего управления.
Выводы по главе 4.
Глава 5. ПОЛИЭДРАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ДИСКРЕТНЫМ
ЗАДАЧАМ СТАБИЛИЗАЦИИ
5.1. Задачи предельного быстродействия.
5.2. Метод полиэдральных функций Ляпунова и задачи
стабилизации.
5.2.1. Полиэдральные функции Ляпунова и узловое
условие устойчивости
5.2.2. Синтез и оптимизация стабилизирующего управления
5.3. Задачи барьерного управления
5.3.1. Автомат ограничений и полиэдральная
методология барьерного управления.
5.3.2. Стратегия упреждающего барьерного управления
Выводы по главе
Глава б. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
6.1. Драматическая смена парадигм неопределенности
и принцип гарантированного результата
6.2. Экстремальные возмущающие факторы.
6.3. Гарантированное и робастное управление
в условиях полиэдральной неопределенности
6.3.1. Гарантированная позиционная стратегия управления
в условиях начальной полиэдральной неопределенности
6.3.2. Робастная стратегия упреждающего управления в условиях параметрической полиэдральной
неопределенности
6.4. Конфликтное управление противоборствующими
объектами в условиях преследования.
6.4.1. Полиэдральные дискретные динамические игры преследования
6.4.2. Полиэдральная стратегия преследования на основе
принципа гарантированного прогнозируемого промаха.
6.5. Полиэдральная методология в задачах наблюдения.
6.5.1. Стохастический и детерминистический подходы
к задачам наблюдения.
6.5.2. Задача дискретного наблюдения состояния системы
и дискретное равномерное приближение функций.
6.5.3. Наблюдение состояния свободной системы.
6.5.4. Совместное наблюдение состояния системы
и внешней среды
Выводы по главе 6.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Любой полиэдр имеет лишь конечное число граней и, следовательно, конечное число вершин, являясь их выпуклой оболочкой. Полиэдральные функции. Будем рассматривать непрерывные вещественные функции на X . Xx р . Х x . Предложение 1. Всякая функция определяется своим надграфи
x i р. Xi и Х 1. На классе непрерывных функций x2x, . Vx ,v2v. Здесь использованы соответственно функциональная и инфиксная формы записи операции максимума, причем ее геометрический смысл поясняет следующее предложение. Предложение 1. Еслиi,, . Ясно, что надграфиком данной линейной функции является полупространство Р i ф. I, а,еХ, 1 ,т. Теорема 1. X, i . Р еi ф. Доказательство. Условие 1. Следуя Рокафеллару 3, функцию будем называть полиэдральной, если ее надграфик iявляется выпуклым полиэдром. Предложение 1. Опишем некоторые фундаментальные свойства полиэдральных функций и покажем, в частности, что свойство полиэдральности сохраняется при многих важных операциях. Теорема 1. Функция лг является полиэдральной тогда и только тогда, когда она является функцией максимума поточечного или дискретного конечного числа некоторых линейных функций i. Дх V ф,лс. Доказательство. Положим, что имеет место равенство 1. Тогда согласно предложению 1. Следовательно, полиэдральная функция. Примем обратное предположение полиэдральная функция. Тогда ее надграфик iявляется выпуклым полиэдром Р. Пусть , 2, мерные грани полиэдра Р. Свяжем с каждой гранью 7, замкнутое полупространство РгXx, характеризуемое следующим свойством оно содержит полиэдр Р9 причем гиперплоскость является к нему опорной и пересекает его по грани ,. Но тогда полиэдр Р образован пересечением данных полупространств. Выберем некоторую точку х, Д. О. Из 1. В силу теоремы 1. Ф,д i х, реР. Xx ф,х ц, 1,т . Отсюда, согласно предложению 1. Дх i р,х р, i 1 ут тахф,л, ф2л,. Следующая теорема показывает, что класс полиэдральных функций совпадает с классом выпуклых кусочнолинейных функций. Теорема 1. Пусть X является выпуклой функцией, и положим, что пространство X можно разбить на конечное число замкнутых выпуклых тел i, 2, . X ,2. Тогда полиэдральная функция. Доказательство. Прежде всего заметим, что из выпуклости функции следует се непрерывность 1. Далее, согласно теореме 1. Так как выпуклая функция, то i выпуклый полиэдр. Теорема 1. Дх Vx, 1. Доказательство. Согласно предложению 1. С выпуклый полиэдр и, следовательно, полиэдральная функция. Далее представление полиэдральной функции в виде 1. Нетрудно убедиться, что сумма полиэдральных функций с неотрицательными коэффициентами есть полиэдралльная функция. Приведенные выше свойства полиэдральных функций указывают на возможность построения новых полиэдральных функций из имеющихся посредством трех операций умножения на положительный скаляр, сложения и поточечного максимума, а также посредством линейного преобразования аргумента исходной полиэдральной функции. Наиболее часто встречающимися полиэдральными функциями являются функции поточечного максимума и сумма модулей. Положим, что х со, х2,хе1Яя. К, поскольку она является поточечной верхней гранью 2п линейных функций вида ере, 8 1, ,. Л 1 хг . Ял, поскольку она является поточечной верхней гранью 2 линейных функций вида X1 . Заметим, что множество уровня Са данных функций при а0 является непустым, причем для функций 2х, зх иДл это соответственно треугольник, куб и октаэдр. Еще один оригинальный способ формирования полиэдральных функций посредством линейного преобразования аргумента, дает следующее, просто доказываемое, предложение. Предложение 1. Полиэдральные неравенства. С , будем называть полиэдральными неравенствами. Согласно предложению 1. Из определения операции поточечного максимума прямо вытекает следующее предложение. Предложение 1. М 0,
V x. Следующие два легко доказываемых предложения раскрывают технику сведения полиэдральных неравенств к системе линейных неравенств. Предложение 1. Пусть
фс V x,
где 1х линейные функции. Тогда полиэдральное неравенство 1. Х0, а х, 2i . Тогда полиэдральное неравенство 1. Х,гИ Т Хп2 . С, 1. Заметим, что переход от неравенства 1. Смысл предложения 1.