Качественный анализ и оценки решений нелинейных систем в критических случаях

• Автор: Соколов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Устойчивость сложных систем

1.1 Однородные и обобщеннооднородные функции

1.2 Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями

1.3 Устойчивость сложных систем по нелинейному приближению

1.4 Оценки решений сложных систем

1.5 Системы с мультипликативными связями центрального типа

1.6 Системы с мультипликативными связями циклического типа

1.7 Системы с аддитивными связями центрального типа .

1.8 Системы с адаптивными связями циклического типа .

1.9 Системы каскадного типа.
2. Устойчивость по первому, в широком смысле, приближению
2.1 Постановка задачи.
2.2 Анализ устойчивости каскадных систем
2.3 Условия абсолютной устойчивости систем со специальной структурой связей
2.4 Оценки решений.
2.5 Устойчивость нелинейных систем с нестационарными возмущениями .
2.6 Условия диссипативности некоторых моделей динамики популяций
2.7 Построение стабилизирующих управлений для нелинейных систем.
3. Устойчивость нелинейных колебательных систем
3.1 Системы нелинейных осцилляторов
3.2 Условия асимптотической устойчивости положения равновесия .
3.3 Оценки решений.
Заключение
Приложения
Приложение 1. Программа, реализующая метод линейного программирования .
Приложение 2. Программа, реализующая явные методы
Литература


Актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью критических случаев сложных систем дифференциальных уравнений в части определения условий устойчивости и получения оценок решений, необходимостью разработки новых методов и способов анализа системных связей. Цели и задачи исследования. Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, различные методы оптимизации, в частности, метод линейного программирования. Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми или уточняют известные результаты. Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств. Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для анализа системных связей, определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем. Апробация работы. Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, ). Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, ). Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной -летию В. И. Зубова (Санкт-Петербург, ). Й Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, ). Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, ). Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, ). Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 8 ГФЕН_а. Публикации. По материалам диссертации опубликованы семь работ [6, 7, , , , , ], одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов []. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений; она содержит 1 лист машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из наименования. К основным проблемам теории управления относятся задачи исследования устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем [9, , . Подобные задачи, связанные также с построением и совершенствованием управления, возникают при изучении широкого класса электромеханических, биологических, экономических систем (, , , , ]. Сложность таких объектов заключается в многомерности, наличии большого числа различных связей между подсистемами, а также в нелинейном характере описывающих их уравнений. Все это приводит к возникновению существенных трудностей, заставляющих при синтезе управляющих систем искать пути упрощения исследуемых уравнений. Поэтому при анализе сложных систем часто применяется метод декомпозиции, то есть разбиетшя системы па не влияющие друг на друга блоки [, , ]. Таким образом можно значительно понизить порядок систем. Для каждого блока подбирается своя функция Ляпунова, затем с их помощью строится общая функция, которая применяется для исследования устойчивости всей сложной системы. Для разбитой на блоки системы можно построить ориентированный граф, в котором 2-тая вершина соединена направленным ребром с ^-той, если з-тый блок действует на ^'-тый.