Численное решение уравнений сведением к полиномиальной задаче Коши

• Автор: Пупышев, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07, 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 207 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Часть I. Метод полиномиальных систем. Глава 1. Введение.

1.1. О решении уравнений сведением к задаче Коши. Общая характеристика работы

1.2. Актуальность. Цель работы. Новизна.

1.3. Основные положения, выносимые на защиту

Глава 2. Полиномиальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1. Определения. Примеры 1

2.2. Теорема о радиусе сходимости полиномиальной задачи Коши и оценке.

2.3. Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнений

2.4. Улучшенная теорема о голоморфном решении полиномиальной системы

Глава 3. Сведение различных задач численного анализа к полиномиальным обыкновенным дифференциальным уравнениям
3.1. Дифференциальные уравнения
3.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения
3.3. Задачи на минимум, максимум
Глава 4. Методы рядов Тейлора
4.1. Описание метода рядов Тейлора для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
4.2. Метод масштабирования
4.3. Составной метод
Часть II. Другие применения метода полиномиальных систем.
Глава 5. Численное решение уравнений движения ИСЗ.
5.1. О выборе модели возмущающих сил
5.2. Модель гравитационного возмущения
5.3. Модель атмосферы.
5.4. Дифференциальные уравнения движения спутника Земли
5.5. Введение масштабирующих множителей.
Глава 6. Задачи на безусловный экстремум функции многих переменных.
6.1. Плохие задачи на экстремум.
6.2. Отыскание минимакса. Задача Мандельштама.
Часть III. Приложение.
Программная реализация
Тексты программ пакета ОЕЕ8о1уег.
Литература


Соответствующие алгоритмы реализованы в виде пакета программ на Фортране в рамках усовершенствованной диссертантом версии ODESolver. Основные положения, выносимые на защиту. Улучшенный вариант теоремы об оценке голоморфного решения полиномиальной задачи Коши и алгоритм выбора шага численного итерирования в простом и составном методах рядов Тейлора, с гарантированной априорной оценкой погрешности. Сведение конкретных задач численного анализа к полиномиальной задаче Коши и построение на этой основе соответствующих алгоритмов их решения. Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1-6]. Они докладывались на Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, август ), на международной математической конференции “Еругинские чтения VI” (Гомель, май ), на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (апрель , апрель ), на семинарах кафедры механики управляемого движения С6ГУ. ГЛАВА II. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. В этой главе рассматриваются общие вопросы, лежащие в основе метода рядов Тейлора решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. В п. Коши отрезком ряда Тейлора. Доказывается улучшенная теорема для определения радиуса сходимости решения рассматриваемой задачи. В п. Коши. Определения. Примеры. Полиномиальная форма уравнений движения механических систем широко используется многими авторами, начиная с А. Пуанкаре [], [] в методе Стеффенсона [] - [], в методе рядов полиномов |3()|, в методе бесконечных систем []- []. Такую систему будем называть полиномиальной. Многие дифференциальные уравнения аналитической и небесной механики имеют такой вид. Покажем, что различные дифференциальные уравнения механики при помощи замены и введением дополнительных переменных могут быть представлены в виде (2. Таким образом, видно, что система (2. Система (2. И+1 получаются непосредственным дифференцированием. Если в дополнение к системе (2. Д*о)=Туо> У = 1,. Рк (>о> У У „о ),/с = 1-, т. В качестве примеров уравнений (2. Земли, уравнения его движения относительно центра масс, уравнения задачи и-тел, уравнения поступательно-вращательного движения п -тел. Движение спутника относительно центра масс описывается шестью фазовыми координатами. Пусть х}, x2,. Xj = Pi (х,,. COS X,,. Pj - алгебраические полиномы относительно всех указанных аргументов. Вводя дополнительные переменные Х? ДС|2 =sin х6, х = cosx,,. X]ъ+j — —x(,tjPj(*| >•••> * )> У = ! ОХС2о-, * - ~СОХ9. Теорема о радиусе сходимости и оценке. Л ) = /и}, Ь е [1: со). Теорема 1[],[],[ ]. Пусть ху0| <уу у = 1,. Эта теорема дает возможность автоматического выбора шаід в методе рядов Тейлора для автономных полиномиальных систем. Коши, чем может показаться на первый взгляд. Поясним это. Во-первых, если задачу (2. Л-; , (2. Е ••••*» > к = 1,. Выбором с,1+1 можно распорядиться по своему усмотрению, например, для улучшения оценок. Ы> * = ! Коши для задачи (2. Оценки, которые могут быть получены по теореме 1 для задачи (2. Коши переносятся на задачу (2. В-третьих, в соответствии с н. Оценки для этой полиномиальной системы, полученные по теореме 1, будут оценками и для исходной системы. Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнении. Это полиномиальная система вида (2. Следует заметить, что число уравнений системы может значительно увеличиться при 1 = 2, но их будет меньше при /. В некоторых случаях полезно остановиться на случае 1 = 3, но для квадратичной системы можно выписать простые и экономные рекуррентные формулы для хк]. Лл (2. Хкл»- Д? Т.ак. А = иг = 0,1,. Улучшенная теорема о голоморфном решении полиномиальной системы. Х ХаЛФ'> у = 1,-. Д/] - есть функции аргумента /. Д/], / = 0,1,. Л(1. Теорема 2 [], [],[]: пусть выполнено условие (2. Тогда решение х(/,/0,х0) задачи (2. Используем эту теорему для оценки радиуса сходимости в численном интегрировании полиномиальных систем. Согласно теореме 1, можно заметить, что при определении радиуса сходимости весомую роль играют коэффициенты правых частей уравнений, стоящие на диагоналях линейной части - они ухудшают оценки в этой теореме.