Исследование и численное решение некоторых нелинейных интегро-дифференциальных параболических задач

• Автор: Джангвеладзе, Темури Амиранович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ I. Обозначения и вспомогательные утверждения

§ 2. Постановка задачи

§ 3. Метод Галеркина для разрешимости задачи

(1.1) - (1.3)

§ 4. Единственность решения задачи (1.1) - (1.3)

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ I. Предварительные замечания и вспомогательные

утверждения

§ 2. Постановка задачи

§ 3. Модифицированный вариант метода Галеркина

для разрешимости задачи (2.1) - (2.3)
§ 4. Единственность обобщенного решения задачи
(2.1) - (2.3) для случаяр= 1
§ 5. Единственность решения для общего случая
§ 6. Об одном вырождающемся нелинейном интегродифференциальном уравнении

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ I. Общая постановка диффузионной задачи
§ 2. Постановка одномерных диффузионных задач для
цилиндрических токоносителей
§ 3. Разностная схема. Исследование сходимости
§ 4. Решение диффузионных разностных уравнений
§ 5. Результаты численных расчетов
ЛИТЕРАТУРА

Хорошо известно, что многочисленные прикладные задачи приводят к исследованию нелинейных дифференциальных и интегро-диффе-ренциальных уравнений с частными производными. Изучение качественных и структурных свойств решений этих уравнений, а также решение краевых и начально-краевых задач для них представляет собой актуальную и быстро развивающуюся область математики.
Явление переноса и подобные им процессы часто математически моделируются в терминах задач для нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. К таким уравнениям приводятся, например, задачи определения тепловых и магнитных полей в средах, теплофизические характеристики которых существенно зависят от температуры, процессы электронной и ионной теплопроводности, фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтяных пластах и др.
Нелинейные параболические уравнения были и остаются объектом исследования многих ученых. Решением различных задач для этих уравнений занимались Ф.Браудер, М.И.Вишик, Ю.А.Дубинский, O.A. Ладыженская, Ж.-Л.Лионе, О.А.Олейник, С.И.Похожаев, П.Равъяр,
А.Фридман и др.
В ряде случаев важные с практической и теоретической точки зрения результаты в теории нелинейных параболических уравнений были получены путем построения точных решений (см., например, [4,6,23,24,30,41,49,50,52,61,62,69,70,71,81] ).
Не игнорируя значимость точных решений отдельных классов нелинейных уравнений, следует иметь в виду их ограниченность при разработке конкретных прикладных проблем в целом. Полное решение

Далее, принимая во внимание (2.19) устанавливаем, что
слабо в
а# дх
следовательно, по теореме Рисса приходим к (2.26).
Таким образом, лемма 2.7. доказана.
Используя теперь определение сходимости в среднем, (2.26)
можно записать в виде

(2-27)
/и ^ _ •
Поступая затем так же как в § 3 главы I, из (2.27) получаем справедливость соотношения
Ь £
у^^иота В°ВДУ в 0- (2.28)
О £
С помощью лемм 2.3, 2.6 и из (2.28)заключаем, что
Ослабо в (0)> (2.29)
<_/ — /7Таким образом, АНт—1в 7} 7^*
Из соотношений (2.19), (2.20) имеем
'дЦ'т 'ди слабо в
Ъ± Ы
/уТ, эЩ- слав0 в £■>