Алгебраическая разработка геометрии вещественных грассмановых многообразий

• Автор: Козлов, Сергей Емельянович
• Шифр специальности: 01.01.06, 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 158 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Евклидова геометрия внешней алгебры

1. Евклидова структура на внешней алгебре

2. Операция внутреннего умножения

3. Ранговые пространства поливекторов

4. Оператор Ходжа

5. Аналитическое описание конуса простых рвекторов

6. Специальные разложения пространства Л2Е4 и его элементов

7. Ортогональные разложения бивекторов.

8. Бивекторы как кососимметрические операторы .

9. Тассующий оператор специальной градуировки алгебры ЛМП
ГЛАВА II. Плюккеровы вложения и инвариантные римаиовы метрики
на многообразиях Грассмана
. Три модели вещественных грассмановых многообразий .
. Инвариантные метрики на грассмановых многообразиях.
ГЛАВА III. Экспоненциальное отображение грассманова многообразия
в плюккеровой модели и его свойства.
. Каноническое представление касательного вектора X Ти,Срп.
. Стационарные углы между плоскостями многообразий Срп и Ср п
. Замкнутые геодезические и радиус инъективности в многообразиях
И С.
. Плоское, вполне геодезическое подмногообразие, содержащее
данную геодезическую .
. Замыкания геодезических .
ГЛАВА IV. Группы изометрий грассманианов.
. Ортогональное представление группы 0ЕП во внешней
алгебре Л К
. Вполне геодезическое подмногообразие, построенное
по паре и Сп, П С ТСп
. Группа 0, собственных изометрий риманова многообразия л.
. Некоторые внешние свойства плюккерова вложения.
. Повороты грассманиана вокруг геодезической.
ГЛАВА V. Кривизна в многообразиях Грассмана
. Преобразование кривизны в грассманиане 4
. Преобразование кривизны в стандартном базисе пространства
. Двумерные направления экстремальных секционных кривизн.
ГЛАВА VI. Сопряженные точки на вещественных грассманианах
. Сопряженные точки и точки раздела вдоль произвольной
геодезической .
. Множество раздела многообразия
. Множество раздела в касательном пространстве многообразия
. Множества раздела на произведении римановых многообразий.
ГЛАВА VII. Стационарные значения секционной кривизны в
грассманианах бивекторов
. Внешняя кривизна многообразия п в единичной сфере
2
. Условия экстремальности двумерного направления.
. Стационарные значения кривизны и экстремальные направления
о при то 4,3
. Стационарные значения кривизны и экстремальные направления
7 при тсг 2.
ПРИЛОЖЕНИЕ. Бивекторы над тфостранством Минковского
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Картану [], было известно представление секционной кривизны грассма-ниана в направлении ортонормированной пары X, У € ТшС^п в виде скалярного квадрата (в метрике Киллинга) произведения Ли двух соответствующих ортонор-мированных элементов Х V в алгебре Ли группы 0(Е) (см. Как хорошо известно, алгебра о(Е3) изометрически изоморфна трехмерному евклидову пространству с операцией векторного умножения (см. Алгебра о (К4) изометрически изоморфна пространству Е(| с операцией обобщенного векторного произведения (см. При п > 4 нам не известно достаточно удовлетворительного описания соотношений между евклидовой структурой и произведением Ли в алгебре о(Еп). Поэтому максимальное значение 2 секционной кривизны грассма-нианов найдено на другом пути и значительно позже работы [] (см. Внешняя геометрия грассмаиианов С*п С Ар(Кп) представляет интерес для теории калибровок. Кроме того, плюккерово вложение позволяет поставить вопрос о конгруэнтности в евклидовых пространствх различных объектов, определяемых внутренней геометрией грассманианов. В частности, об описании множеств раздела многообразий Грассмана с точностью до движения в евклидовом пространстве. При изучении внешней геометрии илюккерова вложения получается ряд канонических вложений классических симметрических пространств в евклидово пространство. Например, комплексных проективных пространств СРт (см. С/(п) ортогональных комплексных структур на четномериом евклидовом пространстве (см. Эти вложения дают удобный инструмент для исследования внутренней геометрии выше упомянутых симметрических пространств (см. Вполне геодезические вложения многообразий (2п)/и(п) (п > 2) в многообразия (2т)/{7(т), т > п (см. Изометрическое накрытие (3) показывает, что все локальные свойства многообразий С? С?р,п. Различия в глобальной структуре этих пространств будут ниже специально отмечаться. Перейдем теперь к изложению содержания данной работы. Она состоит из введения, семи глав, приложения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Нумерация параграфов сквозная. Формулы нумеруются внутри параграфа, разбитого на пункты. Так что запись (3) отсылает к формуле (3) в §, а запись п. При ссылках на формулы внутри параграфа его номер не указывается. Глава I состоит из девяти параграфов (1-9). Скалярное произведение в евклидовом пространстве Еп естественным образом индуцирует евклидову структуру во внешней алгебре Л(КП), построенной над этим пространством. Первая глава посвящена изучению исходных вопросов евклидовой геометрии пространства Л(Еа) (евклидова геометрия бивекторов в К3 рассмотрена в []). При этом некоторые чисто алгебраические факты получают наглядное геометрическое освещение. Кроме того, при естественных требованиях ортогональности ряд изучаемых объектов приобретает свойство единственности. Эту главу можно рассматривать, как разработку и удобную для применения формулировку алгебраического аппарата, используемого в дальнейшем для изучения внутренней и внешней геометрии вещественных грассмановых многообразий. В п. Кп. Определение 2. АР(КП) х Л,(ЕП) -> ЛР_9(КП), р > ? ЛР(ЕП), ? Лр). При р = q операция виутренного умножения совпадает со скалярным произведением. В п. Определение 3. Уш = WLAp^! Rn) = {е € Rn|e = € Ap-. Rn)} С Rn. В силу билинейности операции внутреннего умножения подмножество Уш действительно является подпространством пространства Rn. Ранговое пространство р-вектора со является наименьшим подпространством Vu С Rn, во внешней алгебре которого "помещается” поливектор со (теорема 3. Теорема 3. Пусть аннулятор некоторого ненулевого р-вектора со отличен от нуля. Выберем один из двух простых единичных ^-векторов coq (q = dim (Ann о;)) таких, что К,0 = Annw. Тогда существует единственный поливектор со € Ар_id. Заметим, что операция внутреннего умножения L может быть получена комбинацией действий оператора Ходжа * и внешнего умножения А.