Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2

• Автор: Орлова, Ирина Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02, 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Индексы и базовые матрицы для алгебродифференциальных систем.

1.1. Регулярные пары квадратных матриц и их индексы

1.2. Объект исследования

1.3. Базовые матрицы регулярной пары матриц, имеющей индекс

1.4. Теорема о единственности базовых матриц

1.5. Матрица Дразина

1.6. Применение матрицы Дразина для нахождения базовых матриц 1.7. Ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Глава 2. Блочные пары матриц индексов 1 и 2.

2.1. Блочные пары матриц.

2.2. Ранговые критерии принадлежности блочных пар матриц к парам матриц индекса 1 и их базовые матрицы.
2.3. Блочные пары матриц индекса 2.
2.4. Полуявные блочные пары матриц индекса 1 и 2. Теорема о понижении индекса.
2.5. Частный случай полуявных блочных пар матриц индекса 2.
2.6. Вертикальноблочные пары матриц индексов 1 и 2
Глава 3. Применение базовых матриц к построению численных методов решения линейных и нелинейных АДС
3.1. Основные идеи
3.2. Системы индекса 1
3.3. Итерации.
3.4. Метод типа ломаных Эйлера
3.5. Нелинейные ЛДС общего вида.
3.6. Некоторые преобразования полуявных блочных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов.
Список литературы


В работе [] впервые было исследовано влияние структуры АДС на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разносных методов для решения АДС, названное позже «пограничным слоем ошибок». В книге [] вводится аппарат базовых матриц, который позволяет исследовать систему (1), с постоянной матрицей А, и преобразовать исходную систему (1) к системе с невырожденной матрицей при производной (в диссертации используется теория базовых матриц, предложенная в этой монографии). Ряд результатов получен сотрудниками Ю. Е. Бояринцева. В работе [] В. М. Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида А В, где А является полуобратной к А, а именно удовлетворяет уравнению А А А=А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем. В.А. Данилов в работах [, ] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности. В.Ф. Чистяковым [6, , , ] для исследования и численного решения линейных АДС и систем интегро-дифференциальных уравнений предложен подход, базирующийся на понятии левого регуляризирующего оператора, т. Эти результаты использованы при доказательстве ряда утверждений о свойствах тождественно вырожденного квадратичного функционала. В работах A. A. Щегловой [-, , ] рассматривается проблема разрешимости и излагаются алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. Исследуются качественные свойства линейных АДС, а также построение решения типа Соболева-Шварца для линейных АДС. В совместной монографии В. Ф. Чистякова и A. A. Щегловой [] много внимания уделяется качественным свойствам как линейных, так и нелинейных АДС. В рамках условия разрешимости получены условия устойчивости по Ляпунову и приводимости АДС, доказаны аналоги теорем Ляпунова-Флоке и Еругина. Обоснованы критерии управляемости и наблюдаемости АДС, доказан аналог теоремы дуальности Кальмана. Ряд аспектов теории и построения численных методов изучены в работах М. В. Булатова [-]. В его работах рассмотрен ряд способов преобразования АДС и исследован вопрос о понижении индекса системы (1). Так же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС. Рассматриваются различные численные методы применительно к АДС. Профессор Г. Исследуются уравнения Соболевского типа. Введено понятие фазового пространства системы дифференциальных уравнений, как множества, содержащего все ее решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных данных задачи Коши исследуемого операторного уравнения. В работах Г. Л. Свиридюка и С. В. Брычева [], Г. А. Свиридюка и И. В. Бурлачко [, ] на основе метода фазового пространства построен и реализован численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В работах H. A. Сидорова, O. A. Романовой, М. В. Фалалеева, ЕЛО. Гражданцевой [, , , ] исследуются некоторые классы вырожденных линейных дифференциальных и интегральных уравнений на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений с использованием теории псевдообратных операторов и теории фундаментальных операторов-функций соответствующих сингулярных дифференциальных операторов банаховых пространствах. Г.А. Куриной в работах [, ] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Исследуется связь между множествами сингулярно возмущенной системы и вырожденной системы. A.A. Абрамов, К. Балла, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно [1-4] предлагают и исследуют метод решения краевых задач для линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений, основанный на совокупности последовательных преобразований исходной системы, в результате которых получается система ОДУ, либо система линейных алгебраических уравнений. В работах Г. Ю. Куликова [-] подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса, Ньютона и Рунге-Кутты для решения системы дифференциально-алгебраических уравнений.