Интуиционистская логика и теория множеств

• Автор: Хаханян, Валерий Христофорович
• Шифр специальности: 09.00.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 189 с.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение.

2. Глава 1. История развития теории множеств с интуиционистской

логикой метаматематика и философские аспекты

3. Глава 2. Описание базисных теорий множеств с интуиционистской

логикой и дополнительных постулатов конструктивного, интуиционистского и теоретикомножественного характера

4. Глава 3. Свойства ординалов в интуиционистской теории множеств.

Интуиционистское доказательство совместности тезиса Чрча

с теорией множеств

5. Глава 4. Соотношения дополнительных постулатов в базисных

теориях множеств с интуиционистской логикой.

6. Глава 5. Независимость схемы собирания от принципа двойного
дополнения множеств и vi v в теории множеств с интуиционистской логикой.
7. Глава 6. О допустимости правила Маркова в теории множеств с
интуиционистской логикой. Предикаты реализуемости для теории множеств с интуиционистской логикой.
8. Глава 7. Аксиома выбора в теории множеств с интуиционистской
логикой.
9. Глава 8. Вариант теории множеств i Куайна с
интуиционистской логикой.
Ю.Глава 9. Функциональные алгебраические модели для НА и теории
множеств с интуиционистской логикой
.Заключение.
. Литература.
Введение
Актуальность


Глава 1 диссертации посвящена вопросам философского характера и выводы, полученные в этой главе, опираются на современное состояние исследований разных логиков как в области теории множеств в первую очередь, так и в области арифметики и анализа, которые, вместе с теорией множеств, составляют основания математической науки. С философской точки зрения необходимо отмстить работы философовлогиков Б. В. Бирюкова, В. А. Бочарова, А. М. Анисова, В. Л. Васюкова, Е. К.Войшвилло, Ю. В. Ивлева, В. И. Маркина, В. А. Смирнова, Е. Д. Смирновой. Как уже отмечалось, к концу XIX и началу XX веков открытие Г. Кантора оформилось в отдельную ветвь математики и теория множеств стала с успехом и широко применяться в различных разделах математики. Однако открытие противоречий привело к новому третьему кризису в основаниях математики, что повлекло бурное развитие математической мысли в разных направлениях, но ни одно из направлений ни привело к общепризнанному выходу из кризиса последнее признается и авторами , см. В этой же Главе датся краткий обзор развития формализованных систем интуиционизма от арифметики до теории множеств, причем последним уделяется главное внимание. В Главе 3 рассматриваются свойства ординалов в теориях множеств с интуиционистской логикой и некоторые свойства упорядочений порядков. Все эти свойства исследовались в с помощью гейтингозначных моделей, а также устанавливались свойства ординалов, которые остаются верными при замене классической логики предикатов на интуиционистскую. Доказательства из использовали внешним образом, т. В доказано, что достаточно внешним образом воспользоваться только схемой подстановки, что, в силу вышесказанного, ослабляет доказательство из . Также, в работе из отсутствовали многие доказательства тех фактов, что ряд свойств ординалов влечет полный закон исключенного третьего и некоторые, наиболее интересные из этих доказательств, приводятся в работе. Далее датся доказательство совместности тезиса . Черча с интуиционистской теорией множеств для теории с двумя сортами переменных, причем внешним образом достаточно воспользоваться только теорией множеств с двумя же сортами переменных, со схемой аксиом подстановки и с аксиомой двойного дополнения множеств. Естественно, что схема аксиом собирания отсутствует. Таким образом, метаматематика доказательства использует интуиционистскую логику в отличие, скажем, от или , где внешним образом используется теория множеств это означает, что не используется в полном объме классическое исчисление предикатов, т. Доказательство впервые было анонсировано в и . В и были приведены полные доказательства отмеченного факта. Эти доказательства используя технику из переносятся и на односортную теорию множеств. Х.Фридмана из . I i ii i I v i iv. I это далее I. В Главе 4 датся сводка результатов о соотношении различных принципов конструктивного, интуиционистского и теоретикомножественного характера в теории множеств с интуиционистской логикой, к которой добавлены принцип двойного дополнения множеств и схема аксиом собирания. Часть этих результатов была получена в . В данной работе доказывается независимость сильного теоретикомножественного принципа униформизации от тезиса Чрча с выбором,что решает вопрос о взаимной независимости этих фундаментальных принципов, однако теория множеств берется без аксиомы объмности. Известно, что см. Черча с единственностью этот же результат остается верным и для теории множеств с интуиционистской логикой. Таким образом, в качестве нерешенной остается только задача доказательства невыводимости сильного принципа униформизации из тезиса Черча с единственностью или без единственности или из слабого же принципа униформизации. Решение последней задачи позволило бы полностью закрыть вопрос о соотношении отмеченных принципов в теории множеств с интуиционистской логикой и с аксиомой объемности. Здесь только отметим, что техника, примененная в для теории типов, к бестиповым теориям не применима. Еще ряд приводимых метасоотношений между разного рода принципами является, как правило, легким следствием либо результатов из , либо сформулированного выше результата, полученного в диссертации.