Становление формальных методов в логике отношений

• Автор: Маков, Борис Васильевич
• Шифр специальности: 09.00.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 155 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 3

ГЛАВА I. ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕБОВАНИЙ К СТРОГОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В ИСТОРИИ ДЕДУКТИВНЫХ

НАУК.

1. Первые шаги на пути к формальным методам

древненегреческая наук.

2. Усиление абстрактности и логизация математики 3. Формирование новых требований строгости

в математике XIX в.

ГЛАВА II. СОЗДАНИЕ ЛОГИКИ ОТНОШЕНИЙ КАК

ФОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

1. Предпосылки формализации.гйки отношений

2. Логика отношений А. Де Моргана и Дж.Буля.
3. Теория отношений Ч.С.Пирса
4. Значение работ Э.Шредера в развитии логики
отношений
ГЛАВА III. РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ ОТНОШЕНИЙ
В РОССИИ.
1. Логика отношений Каринского и Рутковского
2. Формализация Н.Я.Гротом психологической
концепции логики отношений.
3. Дальнейшее развитие идей логики отношений в
России.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .



ЛИТЕРАТУРА


В первой главе рассматривается общее развитие формальных методов в математике и логике, во второй главе собственно формализация логики отношений, и в третьей развитие логики отношений российскими авторами. ГЛАВА I. Первые шаги на ну ги к формальным методам древнегреческая наука. Если сопоставить исходные математические знания треков с достижениями египтян и вавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарные положения, как равенство углов у основания равнобедренного треугольника, открытие которого приписывают Фалесу Милетскому, не были известны древней математике. Тем не менее, греческая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отличие от своих предшественников. Качественное отличие исследований Фалеса и его последователей от догреческой математики проявляется не столько в конкретном содержании исследованной зависимости, сколько в новом способе математического мышления. Ее своеобразие заключается прежде всего в попытке систематически использовать идею доказательства. Техника доказательства ранней греческой математики как в геометрии, так и в арифметике первоначально являлась простой попыткой придания наглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было доказательство при помощи камешков, в геометрии путем наложения. Утверждают, что уже в шестом веке до нашей эры в рамках пифагорейской школы была сформулирована теорема, утверждающая, что произведение масс тел обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Пифагорейцами была построена значительная часть планиметрии прямоугольных фигур высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора хотя частные случаи этой теоремы за лет до Пифагора приводятся в клинописных текстах вавилонян, греки доказывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорейцам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников. Наилучшим считалось образование двух рядов чисел, которые обозначим а и Ь каждый ряд начинается с единицы. Каждое последующее число в ряду а на каждом шаге образуется путем сложения уже полученных последних а и Ь. Последующее в столбце Ь образуется путем прибавления удвоенного предыдущею а к предыдущему Ь. Так получаются 6 пар 1,1 2,3 5,7 , , ,. Для каждой лары выражение 2а2 Ь2 будет 1 или 1 таким образом, Ьа является почти квадратным корнем из 2 и с каждым новым шагом приближается к 2. Одним из самых важных следствий открытия иррациональных чисел было создание Нвдоксом геометрической теории пропорций 85гг. До него существовала лишь арифметическая теория пропорций. С к 1, если а, взятое 1 раз, равно Ь, взятому с раз. Это определение, за отсутствием арифметической теории иррациональных чисел, может применяться только к рациональным числам. Однако Евдокс дал новое определение, которое не подчиняется этому ограничению в форме, приближающейся к методам современного математического анализа. Эта теория была в дальнейшем развита Евклидом и отличалась большим логическим изяществом. Евдокс также усовершенствовал метод исчерпывания, который в дальнейшем с большим успехом был использован Архимедом. Этот метод является предвосхищением интегрального исчисления. Взять, например, вопрос об исчислении площади круга, очевидно, что в круг можно вписать любой правильный многоугольник Со сколь угодно большим количеством сторон. Площадь такого многоугольника пропорциональна квадрату диаметра круга. Чем больше сторон Имеет многоугольник, тем больше он приближается к кругу. Можно доказать, что если многоугольник обладает достаточно большим количеством сторон, то разность между его Площадью и площадью круга будет меньше любой наперед заданной величины, как бы мала она ни была. Для этой цели используется аксиома Архимеда. Она гласит, что если большую из двух величин разделить пополам, а затем половину снова разделить пополам, и так далее, то после конечного числа шагов будет достигнута величина, которая меньше, чем меньшая из двух первоначальных величин. Другими словами, если а больше чем Ь, то имеется только целое число п, такое что 2п Ь будет больше, чем а.