Страховые тарифы и резервы : Стохастические модели и методы вычислений

• Автор: Малиновский, Всеволод Константинович
• Шифр специальности: 08.00.13
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 288 с.

Введение

Глава 1. Последовательности, допускающие рекордную регенерацию

1. Остановленные случайные последовательности. Условие рекордной регенерации

2. Оценки скорости сходимости к нормальному распределению

3. Асимптотические разложения

4. Асимптотика и оценки сверху вероятностей больших уклонений.

5. Предельные теоремы для остановленных случайных блужданий.

Глава 2. Общая величина страховых выплат в марковской модели теории риска

1. Цепи Маркова основные определения, условия возвратности, регенерирующее расширение.

2. Процессы марковского восстановления регенерирующее расширение.

3. Марковская модель теории риска и предельные теоремы для процессов марковского восстановления
Глава 3. Вероятности разорения в коллективной модели теории риска.
1. Вероятность разорения и точные формулы
2. Асимптотика в задаче о разорении за конечное время,
3. Большие уклонения в задаче о разорении за конечное время.
4. Динамическая модель по периодам отчетности и вероятности разорения.
Глава 4. Вероятности разорения при нагрузке на безопасность, стремящейся к нулю.
1. Определения и формулировка основного результата
2. Приближения для ти, , хи
3. Приближения для С
4. Лестничные величины. Доказательство основной теоремы.
5. Вспомогательные результаты.
Литература


Если исходный ПМВ Х,Оьо является возвратным по Харрису, то атом Д является возвратным. В 3 получен ряд предельных теорем для ПМВ. Приложением этих результатов, представляющим особую важность в контексте теории риска, является аппроксимация распределения общей величины страховых выплат в марковской модели рискового резерва. Здесь уместно отметить, что одними из первых подходов к доказательству предельных теорем теории вероятностей для величин, связанных в цепь Маркова Хг, г 0,1,. Тк i i Хк Д, А 1,2. Xi, к 1,2. П Еип. Применение классической ЦПТ завершает доказательство предельной теоремы для цепи Маркова методом регенераций. Однако, несмотря на всю привлекательность метода регенераций, отказ от структурных ограничений типа дискретности пространства состояний и уточнения в ЦПТ, такие как оценки скорости сходимости и асимптотические разложения, долгое время оставался открытой проблемой. Большую сложность представляло также см. Колмогорова доказательство этим методом локальных теорем, поскольку малость отбрасываемого слагаемого никак не гарантирует близость плотностей. Определенные продвижения в этих задачах были получены для цепей Маркова с произвольным пространством состояний, удовлетворяющих условию Дблина 3 см. Дуба и Ори 9. В числе прочих результатов были получены асимптотические разложения в ЦПТ для цепей Маркова. Эти продвижения были достигнуты С. В.Нагаевым , методом характеристических функций, опирающимся на спектральную теорию линейных операторов. Условие Дблина в известном смысле эквивалентно условию равномерного сильного перемешивания см. Оно представляет собой весьма жесткое ограничение. Так, ему не удовлетворяет часто возникающая в приложениях гауссовская марковская авторегрессия. Из попыток распространить метод характеристических функций на цепи с более слабыми эргодическими условиями, чем условие равномерного сильного перемешивания, упомянем работы Гудинаса и . Опираясь на теорию возмущения операторов, он смог перейти к условиям в терминах максимальных коэффициентов корреляции, что также является весьма ограничительным. Известно, что наиболее естественным условием эргодического типа для цепей Маркова, заданных на произвольном пространстве состояний, является условие возвратности Харриса см. В работах Нуммелина 7, 8 и в его книге предложена конструкция вложения ii i, описанная выше. Ценность этой конструкции в том, что она позволяет применять метод регенераций для возвратных по Харрису цепей Маркова. С другой стороны, сам метод Колмогорова и Дблина получил дальнейшее развитие в работах Болтхаузена , . Эти два достижения привели к существенному прогрессу в области предельных теорем для цепей Маркова см. Болтхаузена , Малиновского , , Хиппа 4, Йенсена 1. В гл. В 1 предложен численный метод нахождения вероятности разорения, основанный на обращении преобразования Лапласа. Теорема 1. Следствием теоремы 1 при условии показательности Т и У является следующий известный результат см. Асмуссена , БарндорфаНильсена, Шмидли и Малиновского 0. Теорема 2. Ьуифи х ис Хрьсвтх 2х . Заметим, что в и этот результат доказывался самостоятельно, а как следствие более общей теоремы 1 он был получен в 0. В заключение 1 приводится пример, показывающий, что именно распределения, а не, скажем, их средние и дисперсии, следует привлекать для квалифицированного анализа вероятности разорения. Ы Еи1 ,2. Эти распределения приводят к процессам появления страховых случаев, известным как процессы Кокса и, в отличие от более простого пуассоновского процесса, отражают наличие различных априорных состояний страховой среды. Для простоты положим х 1 и выберем в параметры а 3, 6 25 и к 4, 2 Ю. Заметим, что такой выбор обеспечит равенство средних они будут равны 54 и дисперсий они будут равны выбранных распределений. Основное условие ЕУх сЕТ преобразуется в следующее ограничение на с с 45.