Построение самосопряженного Гамильтониана для безмассового скалярного поля в пространстве Шварцшильда

• Автор: Афантитис Хараламбос
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил

Оглавление
1 ВВЕДЕНИЕ
2 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
2.1 Уравнения поля
2.2 Пространство Шварцшильда
2.3 Гамильтониан
2.4 Используемые координаты
2.5 Постановка задачи
2.6 Задача на собственные значения
2.7 Связь Гамильтониана и оператора движения
2.8 Самосопряженность Гамильтониана
2.9 Индекс дефекта оператора
3 ВНЕШНЯЯ ОБЛАСТЬ
3.1 Постановка задачи
3.2 Оператор К{
3.3 Оператор Т(е)
3.4 Оператор К
3.5 Разложение функции по собственным векторам
4 ВНУТРЕННЯЯ ОБЛАСТЬ
4.1 Оператор движения
4.2 Оператор Т(,-)

4.3 Оператор К
4.4 Собственные векторы во внутренней области
4.5 Разложение функции по собственным векторам
5 САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ ГАМИЛЬТОНИАНА ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА ШВАРЦШИЛЬДА
5.1 Постановка задачи
5.2 Задача Коши
5.3 Сопоставление координаты х во внутренней и внешней
областях
5.4 Продолжение в точке х = 1.
Самосопряженность Гамильтониана
5.5 Продолжение в точке х — 1 и задача Коши.
Сужение области определения Гамильтониана
6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Глава
ВВЕДЕНИЕ
Успехи квантовой теории поля в плоском пространстве-времени, в пространстве Минковского, и объединение электромагнитных и слабых взаимодействий с помощью теории Вейнберга-Салама, а также разработка хромодинамики для описания и сильных взаимодействий с помощью калибровочных теорий, усилили попытки на разработку квантовой теории гравитации. Однако, эта теория до сих пор полностью не сформулирована, к тому же привносятся усложнения самодействием гравитационного поля, которое ведет к появлению нелинейностей в теории. В попытке определить каким-то образом влияние гравитационного поля на физические квантовые поля, мы вынуждены прибегнуть к полуклассическому приближению.
В этом приближении полный метрический тензор д^и представлен в виде суммы
9/IV — 9ци "Ь
ГД€ 9% является “фоновой” метрикой, а представляет собой “возмущение” метрики за счет присутствия гравитационного поля. Предполагая малость возмущения по отношению к “фоновой” метрике, линеаризованная часть по интерпретируется как часть материи, часть источника и потому рассматривается в один ряд с другими квантовыми материальными полями. По квантованным на фоне д^у полям (включая также части с /г/№) вычисляется тензор энергии-импульса Т^. усредненное значение которого вставляется в правую часть уравнений Эйнштейна. В единицах где Н = с = 1 они имеют вид
Яд* ~ = — 8тгС(Тр,,)

пространство, где задано скалярное произведение (и, у) для любых векторов и,у Є X. Норма )|и|| вектора и задается с помощью скалярного произведения
ІМІ = («.и)
Особенность Гильбертова пространства заключается также в том, что само пространство X и его сопряженное X* могут быть отождествлены. Имеется в виду следующее. Пусть X* пространство полулинейных форм / Є X* таких, что для любого вектора л Є X величина ((/, и)) соответствует комплексному числу. Отождествление X и X* означает, что для любой формы / Є X* найдется вектор у Є X такой, что для любого вектора и Є X выполняется соотношение (Теорема Рисса)
(у,и) = ((/,«))
Таким образом, принятые предположения о гильбертовом пространстве X максимально соответствует пространству состояний, которое рассматривается обычно в физике. Пространству состояний, обозначаемых обычно через |-) (называемых кет-векторами), соответствует пространство сопряженных состояний, обозначаемых {•| (бра-векторы). Однако, это одни и те же состояния, получаемые путем некоторой формальной операции сопряжения (поэтому рассматривается обычно пространство Г2 квадратично интегрируемых функций — оно сопряжено самому себе). Это важно, поскольку в качестве бра-вектора выбирается обычно конечный вектор, получаемый из начального кет-вектора, а скалярное произведение связывается с плотностью вероятности перехода из начального состояния в конечное.
Оператор Г*, сопряженный к оператору Т в Гильбертовом пространстве X, для любого вектора и Є Ю(Т) и любого вектора V Є Т)(Т*), где к тому же и, V Є X, по определению удовлетворяет соотношению
(у,Ти) = {Ти) (2.64)
Операторов, сопряженных данному оператору Т, существует как правило множество. Однако, если оператор Т плотно определен в пространстве X, то существует единственный максимальный оператор Т*, сопряженный к Т, в том смысле, что все остальные сопряженные операторы являются сужениями Т* ([4], гл. III, § 5.5).