Распределенные системы как решеточные модели : Анализ пространственно-временного поведения и элементы управления динамикой

• Автор: Прохоров, Александр Кириллович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с. : ил

Оглавление
1 Введение

2 Основные результаты теории динамических систем

2.1 Динамика сосредоточенных систем

2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода

2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость

2.1.3 Переход к хаосу через разрушение инвариантного тора

2.1.4 Основные характеристики хаотического поведения

2.2 Методы управления динамикой нелинейных систем

2.3 Описание распределенных систем в рамках дискретных

моделей
3 Одномерные отображения с периодическим возмущением по параметру. Стабилизация неустойчивых орбит
3.1 Общие результаты [149]
3.2 Возмущенное квадратичное отображение
3.3 Подавление хаоса в унимодальных отображениях
3.3.1 Численное моделирование
4 Динамика неоднородных цепочек связанных квадратичных отображений

4.1 Локальный критерий динамики связанных отображений
4.2 Примеры однородных систем
4.2.1 Потоковая модель
4.2.2 Кольцевая цепочка квадратичных отображений .
4.3 Анализ неоднородных цепочек связанных одномерных отображений
Заключение

Глава 1 Введение
В начале XX века появилось огромное количество нелинейных задач, решение которых натолкнулось на непреодолимые трудности. Если прежде эти задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (задача трех тел, описание волн на поверхности жидкости и т.п.), то в 10- 30-е годы нелинейные задачи превратились в первоочередные в таких областях как акустика, физика твердого тела, статистическая физика и т.п. Кроме того, принципиально нелинейные задачи возникли в зарождающейся радиотехнике (детектирование и генерация колебаний), а также в других прикладных отраслях.
Исследования последних лет показали, что типичным свойством многих нелинейных систем, порождающим в них сложное поведение, является чувствительность к начальным условиям. С точки зрения систематики почти во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экологических моделях) можно обнаружить хаос. Это означает, что на достаточно больших временах их поведение непредсказуемо. Таким образом, явление хаотичности в той или иной системе не связано с действием каких-либо априори случайных сил, а кроется в свойстве приобретать при определенных значениях параметров экспоненциально сильную неустойчивость траекторий.
Открытие большого числа нелинейных систем со сложным непредсказуемым поведением стимулировало развитие новых разделов математики. К ним относятся качественная теория дифференциальных

квадратичной нелинейностью.
Из последующих работ большой интерес вызывает работа [125], в которой получены некоторые частные решения уравнения (2.20) и даются оценки энергии колебаний, при которой может наступить стохастизация.
Эти частные решения соответствуют наивысшим модам колебаний кольцевых цепочек из N элементов, для которых /3 = 7Г, Т.е. Х]{Ь) = —Х^г(Ь) = х(Ь). В этом случае х{1) удовлетворяет
уравнению Дуффинга Рис- 2-8: Дисперсионные кривые це-
почки Тоды при увеличении модуля з „ к: кривая 1 соответствует к2 < 0.6,
х + 4х+16ах =0. (2.21) _ = 0.8, 3 - = 0.99999Г
При а > 0 решение уравнения (2.21) выражается через эллиптический косинус: х — Ссп(ГИ,к), где Г2 = 2у/1 4- 4аС2, к — С[2а/л/1 + 4аС2. Этому решению соответствует энергия

Найденное решение теряет устойчивость при к > кщ), где
$ =
(л/96 -I- Зя)Л^
Если N велико, то кщ) < 1. В этом случае ЕКр ~ 3.226/ссЛГ. Если а < 0, то периодическое решение уравнения (2.21) выражается через эллиптический синус. Для этого решения ДКр ~ 0.214Лг/а. Отсюда следует, что при а > 0 и достаточно больших N стохастизация должна возникать при существенно меньшем параметре нелинейности, чем при а < 0.
Система связанных осцилляторов сама по себе еще не является моделью распределенной среды. Для того чтобы получить такую модель,