Спектральная асимптотика неэллиптических псевдодифференциальных операторов и задачи рассеяния

• Автор: Андреев, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 131 c. : ил

§ А. Основные обозначения

§ Б. Основные сведения из спектральной теории линейных

операторов в гильбертовом пространстве

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА НЕЭЛЖПШЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ I. Классическая асимптотика спектра задачи Дирихле

для ДО с постоянными коэффициентами

§ 2. Оценки спектра модельной задачи в кубе

§ 3. Доказательство теорем І.І, 1

§ 4. Спектральная асимптотика системы уравнений групповой диффузии нейтронов в ядерном реакторе
§ 5. Оценки спектра оператора системы уравнений диффузии нейтронов в модельных ситуациях
§ 6. Доказательство теорем 1.3, 1
§ 7. Квазивейлевские асимптотики спектра в скалярной
задаче Дирихле
ГЛАВА 2. ОЦЕНКИ ОСТАТКА В СПЕКТРАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКЕ
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО
ПОРЯДКА
§ I. Постановка задачи и формулировка теорем
§ 2. Задача для ЦЦО с символом класса Х.£ в кубе
Л-я
§ 3. Доказательство теоремы 2
§ 4. Доказательство теоремы 2

§ 5. Доказательство теорем 2.3, 2
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПРЕДЕЛШЫХ ФАЗ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ
§ I. Постановка задачи и формулировки теорем
§ 2. Редукция задачи к спектральной асимптотике ПДО
на евклидовой области
§ 3. Доказательство теорем 3.2, 3
§ 4. Примеры асимптотических оценок фаз рассеяния
ПРИЛОЖЕНИЯ
П-1. Некоторые свойства евклидовых множеств
П-2. О свойствах множеств, ограниченных алгебраическими поверхностями
П-3. Доказательство равенств (1.37)
П-4. Фурье-преобразование функций класса
П-5. Вспомогательные оценки спектра компактных ПДО
П-6. "Формула Лейбница" для ЦДО и ее следствия
ЛИТЕРАТУРА

Асимптотика дискретного спектра дифференциальных операторов (ДО) является одним из традиционных объектов исследования в анализе и математической физике. Результаты, относящиеся к этой области, нашли многочисленные физические применения. В последнее время спектральная теория ДО была дополнена исследованиями, относящимися к интегродифференциальным; точнее - к неевдодифференциальным операторам (ПДО). Другая важная тенденция последнего времени - ослабление ограничений на тип (отказ от эллиптичности) ДО и ПДО.
Распространенным методом получения асимптотики спектра ДО является вариационный метод. Он восходит к классическим работам Г.Вейля [1,23. К ПДО вариационная методика применялась в меньшей степени.
Исследования в области спектральной асимптотики ДО и ПДО наиболее продвинуты для эллиптических операторов. Большое число работ посвящено асимптотике спектра операторов с вырождением эллиптичности. Довольно полно исследован дискретный спектр гипоэллип-тических операторов. В большинстве работ о эллиптических и гипо-элжптических ПДО рассматриваются спектральные задачи на многообразии без края. Подробные литературные указания см. в [3-53.
Асимптотика спектра негипоэллиптических ДО исследована мало. Отметим здесь работу [6]. В ней классическая асимптотическая формула Вейля (см. напр. [43) для функции распределения спектра установлена для широкого класса ДО с постоянными коэффициентами. Краевые условия в [63 соответствуют задаче Дирихле. Спектральная асимптотика получена в [63 с оценкой остатка курантовского (см.

— (э >» 0 (см. п.З этого параграфа). Так как uHv/Mclx біт а)/7Я>Ч а) < і
- т'1 ёУЛ $*(^лМ сО/гН^іао = і- (І(83)
Если .для символа <х выполнено условие (1.68), то, в соответствии с (1.69) и (1.83), для VjQe Н,
£rm .ATC^QVlHv/M cl) <
< UrcT (mesQ.) lim t^(^cl)/v(j* cl) <
< (2этЛт (wesQ.)(i-т~Л ) ; £>0 . (1.84)
Пусть условие (1.68) не выполнено. Повторим рассуждения, использованные в доказательстве теоремы 1.8. В соответствии с (I.8I),
£im Ж(/*'> Л^ у-гП^ЮЛ
< Г"1 iim ПІЇу-)/іЬт(Яп,1-Іа) <
< tü5rrm(mesn^Xl-9-^ ; О . (1.85)
Неравенства (1.84), (1.85) показывают, что задача Дирихле в
кубе для ДО с символом а не имеет классической асимптотики спектра