Исследование статистических моделей турбулентности и турбулентного переноса ренормгрупповыми методами

• Автор: Гольдин, Павел Борисович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ:

ТРЕХПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ 4 -> ®

1.1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса.

Выбор коррелятора случайной силы

1.2. Ренормировка и уравнения РГ

1.3. Вычисление констант ренормировки и РГ-функций

в трехпетлевом приближении

1.4. Парная корреляционная функция: двухпетлевое

приближение
1.5. Расчет константы Колмогорова
Глава 2. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ
В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО
ПЕРЕНОСА
2.1. Описание модели
2.2. Квантово-полевая формулировка.
Точные уравнения для парного коррелятора
2.3. Аномальные показатели для парного коррелятора:
точные результаты
2.4. Иерархия аномальных показателей и влияние сжимаемости
2.5. Уравнения РГ
2.6. Парная корреляционная функция.
Операторное разложение
2.7. Вычисление аномальных размерностей

операторов в однопетлевом приближении
2.8. Точные аномальные размерности /У' )

и константы ренормировки '
Глава 3. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:
ВЫСШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ
3.1. Описание модели
3.2. Ренормгруппа, операторное разложение
и аномальный скейлинг
3.3. Размерности операторов
(дву
при >°°
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическое описание развитой гидродинамической турбулентности часто называют последней нерешенной проблемой классической физики [38]. Одной из конкретных задач является обоснование в рамках микроскопической динамической модели явления аномального скейлинга для корреляционных функций поля скорости и вычисление соответствующих аномальных показателей в форме последовательной теории возмущений, подобной изветстным Б- или Ш-разложениям критических индексов в теории критических явлений; см. например [54, 1 1].
Первая встречаемая здесь трудность состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. Возникает необходимость каким-либо образом перестроить (пересуммировать) ряды обычной теории возмущений. Подобная проблема известна и в теории критического поведения, где она решается с помощью метода ренормализационной группы (РГ), что приводит к представлению критических индексов в виде рядов по параметру е = 4-с1- отклонению размерности пространства с1 от верхней критической размерности д?=4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Альтернативный подход основан на использовании уравнений самосогласования со скелетными диаграммами (бутстрап) и приводит к 1 /А-р аз л оже н и я м, где N - число компонент параметра порядка. Однако, применение этих методов к развитой турбулентности не привело до сих пор к окончательному решению проблемы аномального скейлинга.
Важное отличие состоит в том, что для турбулентности (а точнее говоря, для стохастического уравнения Навье-Стокса) не существует верхней критической размерности, и параметр разложения е в теоретике-

1.4. Парная корреляционная функция: двухпетлевое приближение
В этом разделе мы обсудим одновременную парную корреляционную функцию поля скорости в импульсном представлении.
А/(р)= P„{p)Dip) (1-52)
Мы в основном интересуемся поведением в инерционном интервале (т«р), поэтому в дальнейшем мы положим т = 0; Ш<-регулязация диаграмм обеспечивается импульсом р. Решая РГ уравнение для функции D(p) получим (см. [3, 11, 26])
D(p)=gv2p~'MR(s,g)zD;ngl;3p-,U2*R(hg'), s = p/,i (1-53)
Первое равенство, вместе с соображениями безразмерности, вводит функцию R, которая зависит от двух безразмерных переменных g и s = p/p (зависимость от с и d всегда подразумевается). Второе соотношение выполняется в ИК области s = plp<< 1 и включает координату ИК, притягиваемую неподвижной точкой g,, и критическую размерность поля скорости, которая точно известна: Д„=1-2с/3. Она зависит только от амплитуды D0 и не зависит от коэффициента вязкости г0, согласно второй гипотезе Колмогорова (см. [3, 11, 26, 42]).
Функция R может быть напрямую рассчитана в ренормированной теории возмущения как ряд по g, с конечными коэффициентами при £-»(). Подставляя g, как ряд по s получаем s - разложение величины /?(l,g.). Это было подсчитано ранее в однопетлевом приближении при определенных значениях d. Здесь же мы вычислим это при Ц -> оо в двухпетлевом приближении (три члена г-разложения). Эта точность согласуется с трехпетлевьш вычислением константы ренормировки и точки g. ~ и