Равновесие и устойчивость кристаллических твердых тел при малых и конечных деформациях

• Автор: Подольская, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Описание геометрии и упругих свойств кристаллов с ГПУ структурой с использованием парного силового и моментного взаимодействий
1.1 Геометрия ГПУ и ГЦК структур
1.2 Упругие характеристики металлов с неидеальной ГПУ структурой
1.2.1 Однопараметрическая силовая модель
1.2.2 Двухпараметрическая силовая модель
1.2.3 Моментная модель
1.2.4 Результаты расчетов микроскопических упругих параметров
1.3 Описание геометрии кристаллов с неидеальной ГПУ структурой
на основе парных потенциалов взаимодействия
1.3.1 Построение потенциала взаимодействия
1.3.2 Результаты расчетов параметров потенциала. Проверка устойчивости
1.3.3 Сравнение с ГЦК решеткой
2 Равновесие и устойчивость простых и сложных решеток при конечных деформациях на примере двумерной треугольной, ГЦК, ОЦК и ГПУ решеток
2.1 Алгоритм исследования устойчивости сред с микроструктурой . .
2.2 Треугольная решетка
2.2.1 Геометрия
2.2.2 Условия устойчивости
2.2.3 О границах областей устойчивости
2.2.4 Произвольная аффинная деформация
2.3 ГЦК и ОЦК решетки
2.3.1 Растяжение и сжатие вдоль осей кубической симметрии . .
2.3.2 Описание структурного перехода ГЦК - ОЦК
2.3.3 Произвольная аффинная деформация ГЦК решетки
2.4 Геометрически идеальная ГПУ структура
2.4.1 Критерий устойчивости сложной решетки
2.4.2 Область устойчивости
Заключение
Приложения
А Некоторые сведения из прямого тензорного исчисления
В Вывод формулы для тензора 4(^0 для простой решетки
С Компоненты тензора 4 С} для простой решетки
С.1 Треугольная решетка
С.2 ГЦК решетка
И Об определении модуля Юнга и модуля сдвига деформированной треугольной решетки
Е Вывод формул для тензоров 4С^, 3(ф 2С^ для сложной двухатомной решетки
Список литературы

Введение
Актуальность темы
Для обеспечения работоспособности материала и прогнозирования возникновения предельных состояний требуется построение моделей разрушения на разных масштабных уровнях с учетом внутренней структуры материала. При этом и с научной, и с практической точки зрения особое значение приобретает изучение поведения материалов с идеальной геометрической структурой. Это объясняется тем, что кристаллическая структура характерна для металлов, которые широко используются в технике, а их прочность существенно зависит от различного рода дефектов. Поэтому все большее применение находят монокристаллы, характеризующиеся достаточно малым числом дефектов, что позволяет повысить как прочность конструкции, так и существенно уменьшить метрологические погрешности, что особенно важно для упругих элементов приборов.
Одной из возможных причин разрушения материала является потеря устойчивости его внутренней структуры. Потеря устойчивости может также привести к структурному переходу, в том числе в другое устойчивое состояние. Поэтому актуальной является задача исследования устойчивости материала относительно произвольной вариации напряженно-деформированного состояния: при приближении к критическим деформациям материал может быть устойчив по отношению к приращению напряжений или деформаций вдоль пути нагружения, но при этом неустойчив относительно других возмущений. Исследование устойчивости сред с микроструктурой при конечных деформациях само по себе актуально в связи с тем, что в классической механике деформируемого твердого тела не существует общепринятого определения устойчивости и ее потери.
Так как для построения модели материала на микроуровне методами механики дискретных сред используются потенциалы, характеризующие взаимодействие частиц в узлах кристаллической решетки, а большинство известных в литературе потенциалов изначально разрабатывалось для описания физикохимических, но не механических свойств твердых тел, актуальной является так-

металлов, кроме бериллия, коэффициент Пуассона лежит в пределах от 0.25 до 0.37, коэффициент Пуассона бериллия на порядок меньше и равен 0.032, что подтверждает вывод о недостаточности чисто силовой модели взаимодействия для описания его упругих свойств. В рамках же моментной модели для бериллия 1^21 — 0.05, и3і = 0.04.
Таким образом, можно сделать следующие выводы: во-первых, правильный выбор взаимодействия в большинстве случаев важнее, чем учет геометрических особенностей конкретной решетки; во-вторых, выбор взаимодействия зависит от типа электронной оболочки металла, в частности, ^-элементы достаточно точно могут быть описаны чисто силовыми моделями.
1.3 Описание геометрии кристаллов с неидеальной ГПУ структурой на основе парных потенциалов взаимодействия
1.3.1 Построение потенциала взаимодействия
Введем понятие координационного тензора [26]:
Рассмотрим равновесие решетки при взаимодействии отсчетного атома с 12 ближайшими соседями без учета влияния следующих атомов. Если ГПУ структура идеальна, то координационный тензор для 12 ближайших соседей отсчетного атома шаровой. Поэтому говорят, что они образуют первую координационную сферу. У реальных металлов асимметрия структуры вызывает асимметрию координационного тензора, делая его трансверсалыю-изотропным. Плоскость изотропии тензора совпадает с плоскостью слоев. Поэтому будем называть 12 ближайших соседей отсчетного атома первым координационным эллипсоидом.
Обратимся к рис. 7. Здесь обозначено: 0 — отсчетный атом, 1, 2, 3 — атомы, лежащие на первом, втором и третьем координационных эллипсоидах соответственно, За — атомы, при С < 1.33% (у всех металлов, отмеченных темно-серым на рис. 3 и у церия) лежащие между вторым и третьим координационными эллипсоидами; при С > 13% (у всех металлов, отмеченных светло-серым на рис. 3,