Приближенные методы решения интегральных уравнений вязкоупругости

• Автор: Азиз-Кариева, Наиля Самиговна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 121 c. : ил

Глава I. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

§ I. Интегральные уравнения задач вязкоупругости

§ 2. Модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений

Вольтерра с вырожденным ядром

§ 3. О схемах, позволяющих использовать модифицированный метод последовательных приближений

в задачах вязкоупругости

§ 4. Метод неопределенного множителя для интегральных уравнений Фредгольма

§ 5. Приближенный метод решения систем интегральных уравнений Вольтерра

Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ

ЗАДАЧ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

§ 6. Флаттер вязкоупругой пластинки
§ 7. Устойчивость колебаний вязкоупругой трубы
с протекающей в ней жидкостью
§ 8. Исследование свободных колебаний линейной
вязкоупругой системы
ЗАКЛШЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Представление о вязкоупругом поведении материалов возникло давно, однако лишь в последнее время оно завоевало широкое признание и обширное применение. Активность исследований в этой области связано с тем, что учет наследственных эффектов деформируемых материалов все более необходимым при проектировании в связи с эксплуатацией различных элементов и узлов современных инженерных конструкций в условиях высокой температуры и давления. Вязкоупругими свойствами обладают различные полимерные материалы при любых температурах. Поэтому проблемы теории вязкоупругости привлекают большое внимание исследователей, в особенности с появлением новых композитных и других материалов.
Наряду с разработкой и обоснованием теории вязкоупругости [1-4, 12, 20, 40, 34, 35] , не менее важное значение имеет развитие достаточно общих и эффективных методов решения прикладных задач. Наибольшее развитие получили методы решения статических и квазистатических задач вязкоупругости, использующие связь интегрального преобразования решения задачи вязкоупругости с решением соответствующей задачи упругости (метод аппроксимаций, метод однородных решений, метод последовательных приближений, метод упругих решений [3, 4]). Для динамических задач вязкоупругости такой связи нет, поэтому прямое приложение методов интегральных преобразований в динамических задачах всегда приводит к значительным математическим трудностям, связанным с задачами обращения. Задачи обращения особенно усложняются для сложных форм соотношений между напряжениями и деформациями. Следовательно, возникает необходимость разработки методов решения динамических задач, позволяющих избежать эти трудности.
Одним из таких методов является метод усреднения в применении к интегродифференциальным уравнениям, который впервые был

предложен в работах ^41, 42^ . На возможность исследования динамических задач вязкоупругости методом усреднения было указано в [13]. В [21, 22^ этим методом впервые удалось решить ряд практически важных задач динамики вязкоупругих систем.
За последние десятилетия появилось много работ, в которых задачи, важные как с теоретической точки зрения, так и для приложений, решаются с помощью интегральных уравнений £[, 10, 14, 16-16, 26, 32, 33, 36, 37^. Интегральные уравнения являются одним из наиболее плодотворных средств математического исследования как в чистом, так и в прикладном анализе. Это относится, в частности, к задачам теории механических колебаний, встречающихся в соответствующих областях техники и теоретической физики,где интегральные уравнения не только полезны, но зачастую даже совершенно необходимы для численных исследований.
Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию приближенных методов решения интегральных уравнений и их приложению к решению динамических задач вязкоупругости.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы.
Б § I первой главы дается постановка динамических задач линейной теории вязкоупругости. Показано, что известными методами, динамическая задача вязкоупругого тела сводится к решению интегральных уравнений либо систем интегральных уравнений.
Во втором параграфе рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра второго рода
х^)='[(£)+/я(1,г)х(г)с(г,о
с вырожденным ядром и функцией * предетавленныт-ъишъ
ми в виде:

§ 5. Приближенный метод решения систем интегральных уравнений.
Как показано в § I многие задачи о поведении динамических систем могут быть сведены к решению систем интегральных уравнений Вольтерра второго порядка

х(і) -Я*)+£№(?, г,хео)с!х, (5.1)

М4-Ф$‘
я ({, Г, х(г)) - # (і) К, (?, х(г))+% (Ч)Ке (г, х(ф *
+Г( 4 г, х
к,(г,хю) . Кі(?,хт) . т(іхх(Ф - вектор-функции второго порядка, причем при Ь -*~оо >
6 > о - малый параметр.
Систему (5.1), используя представление для функции
и ядра Н(і,Г,Х(г)) запишем в виде:

Й [і)Ш +£Іх* (г, х(?))с/г]