Решение задач теории упругости с собственными деформациями методом декомпозиции

• Автор: Лохов, Валерий Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 97 с.

Глава 1. Постановки задач
1.1 Классическая постановка краевой задачи с собственными
деформациями
1.2 Обобщенная постановка краевой задачи с собственными
деформациями
1.3 Постановки краевых задач для импотентных и нильпотентных собственных деформаций
1.4 Постановки задач управления
1.4.1 Управление напряжениями
1.4.2 Управление деформациями
1.4.3 Управление перемещениями
1.5 Методы решения задач тории упругости с собственными
деформациями
1.5.1 Аналогия Дюамеля
1.5.2 Формула Майзеля
1.5 Выводы по главе
Глава 2. Разложение собственной деформации на импотентную и
нильпотентную части
2.1 Функциональные пространства собственных деформаций
2.1.1 Подпространство импотентных собственных деформаций
2.1.2 Подпространство нильпотентных собственных деформаций
2.2 Теорема об импотентных и нильпотентных собственных деформациях
2.3 Теорема о разложении собственной деформации
2.4 Следствия из теоремы
2.4.1 Следствие
2.4.2 Следствие
2.5 Демонстрационные примеры
2.5.1 Пример разложения собственной деформации
2.5.2 Альтернативный вывод обобщенной формулы Майзеля
2.6 Выводы по главе
Глава 3. Разработка алгоритмов решения задач управления
3.1 Оценки отклонения напряжений и деформаций от требуемых значений

3.2 Методика построения базисных элементов
3.3 Алгоритм решения задачи управления напряжениями
3.4 Алгоритм решения задачи управления деформациями
3.5 Алгоритм решения задачи управления перемещениями
3.5.1 Управление перемещениями в сплошном теле
3.5.2 Управление перемещениями в дискретизированных системах
3.5.3 Иллюстрация задачи управления перемещениями
3.6 Выводы по главе
Глава 4. Решения задач управления напряжениями и перемещениями
4.1 Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Решение задачи о силовом деформировании системы
и построение базиса нильпотентных собственных деформаций
4.1.3 Постановка и аналитическое решение задачи управления
4.1.4 Численное решение задачи управления
4.2. Создание ненулевых перемещений опорной конструкции
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Построение подпространства совместных деформаций
4.2.3 Решение задачи управления перемещениями
4.3. Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача
4.4. Выводы по главе
Заключение
Библиографический список использованной литературы

Прогресс, достигнутый во многих областях техники, повлек за собой развитие теории термоупругости. Разработка новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы платформы и т.д.) и многого другого стимулирует развитие термоупругости и по сегодняшний день. Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. И знание величины и характера действия тепловых напряжений всегда было необходимо для всестороннего анализа конструкции [1].
Основная цель построения моделей на основе теории термоупругости с собственными деформациями заключается в определении напряжений и деформаций, возникающих в теле при заданных силовых нагрузках и температурных деформациях тела с некоторыми опорами. Однако не меньший теоретический и практический интерес представляет решение так называемых задач управления термоупругости.
Современная инженерия позволяет осуществлять управление системами не только за счет температурной деформации, но и деформации других видов: пьезоэлектрической, ростовой в случае живых систем, пластической и др. Использование пьезоэлектрического управления дает возможность создавать интеллектуальные конструкции, которые способны практически мгновенно откликаться на действующие факторы. Проектирование интеллектуальных структур находится на самом острие инженерных исследований и разработок и стоит острая необходимость в развитии теоретического фундамента для создания таких систем. В настоящее время имеет место огромный интерес к возможности разработки телескопов и антенн большого диаметра при жестких ограничениях на точность поверхности. Одними из самых важных проблем в этой области являются разработка и изготовление основного зеркала телескопа диаметром один и более метров, удерживающего геометрию в установленных пределах. Аналогично, отражающая поверхность микроволновых антенн должна поддерживаться в процессе эксплуатации в пределах миллиметра, чтобы удовлетворительно выполнять заданные функции. Главными факторами, нарушающими форму, являются постоянно меняющиеся

элементы в подпространствах импотентных и нильпотентных собственных деформаций. Вообще говоря, для сплошного тела количество таких элементов равно бесконечности, но, как правило, задачи для сплошных тел сложной геометрии решаются путем построения некоторой аппроксимации. Для дискретной или дискретизированной системы (например, методом конечных элементов) количество базисных элементов становится конечным и есть возможность построить «полный» базис.
Количество базисных элементов определяется структурой системы и из её анализа можно определить размерности указанных подпространств. Также анализ проведен для систем, дискретизированных посредством стержней. По-видимому, высказанные идеи можно обобщить на случай, когда система дискретизирована методом конечных элементов, но этот вопрос требует глубокой проработки и не ставится целью данного исследования. Некоторые идеи построения базиса совместных деформаций разработаны в работе [49].
При рассмотрении предполагается, что все стержни системы однородные и работают только на растяжение или сжатие. Собственная деформация в каждом стержне постоянна. Это классические гипотезы, применяемые для расчета стержневых систем.
Итак, рассмотрим систему, состоящую из Ит стержней, соединенных посредством Ип узлов. Движение системы ограничивается Nк опорами. Размерность пространства Н определяется количеством стержней:
(Пт Н = ЫЯ. (3.11)
Размерность подпространства Ни определяется с использованием теоремы о необходимых и достаточных условиях для импотентных собственных деформаций [54]. Согласно теореме собственные деформации совместны тогда и только тогда, когда существуют объемные и поверхностные силы, создающие в упругом теле такие же деформации. Таким образом, количество независимых вариантов приложения сил определяет размерность подпространства #ц, которое вычисляется по формуле:
(1тЯ„=2Я„-Яя, (dimHu=ЗNn-NR), (3.12)