Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов

• Автор: Кузькин, Виталий Андреевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов
2.1 Известные методы вычисления эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем
2.2 Основные гипотезы. Длинноволновое приближение
2.3 Кинематика идеального кристалла в длинноволновом приближении
2.4 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями
2.4.1 Тензор напряжений
2.4.2 Вектор теплового потока
2.4.3 Сравнение различных выражений для тензора напряжений
2.4.4 Пример: вычисление напряжений вокруг пары краевых дислокаций
2.5 Эквивалентные параметры для кристаллов с многочастичными взаимодействиями
2.5.1 Особенности вычисления напряжений в кристаллах с многочастичными взаимодействиями
2.5.2 Различные представления силы, действующей между двумя частицами
2.5.3 Тензор напряжений
2.5.4 Вектор теплового потока
2.5.5 Пример вычисления напряжений в кристалле с многочастичными взаимодействиями
2.6 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными моментными взаимодействиями
2.6.1 Моментные взаимодействия
2.6.2 Тензор напряжений
2.6.3 Тензор моментных напряжений. Частицы с шаровым тензором инерции
2.6.4 Вектор теплового потока. Частицы с шаровым тензором инерции
2.6.5 Эквивалентные термомеханические параметры систем несферических частиц
2.7 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов
2.7.1 Различные подходы к получению уравнений состояния
2.7.2 Разделение основных величин на холодную и тепловую компоненты
2.7.3 Первое приближение. Уравнение Ми-Грюнайзена
2.7.4 Важные частные случаи
2.7.5 Коэффициент теплового расширения
2.7.6 Особые точки функции Грюнайзена
2.7.7 Сравнение с классическими моделями

2.7.8 Второе приближение. Уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии
2.7.9 Зависимость коэффициента Грюнайзена от деформированного состояния
2.7.10 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов с многочастичными взаимодействиями
3 Описание термомеханических параметров графена
3.1 Различные подходы к описанию механических свойств графена
3.2 Построение моментного потенциала взаимодействия
3.2.1 Общие соотношения
3.2.2 Представление потенциала как функции векторов и тензоров поворота частиц
3.2.3 Представление потенциала как функции векторов, жестко связанных
с частицами
3.3 Построение моментного потенциала для sp2 углерода
3.3.1 Общая форма потенциала
3.3.2 Построение функций, входящих в потенциал
3.3.3 Ограничения на выбор радиуса обрезания
3.4 Описание термомеханических характеристик графена
3.4.1 Калибровка параметров моментного потенциала при отсутствии теплового движения
3.4.2 Калибровка параметров моментного потенциала при температуре 300К103
3.4.3 Определение упругих и прочностных характеристик графена при отсутствии теплового движения
3.4.4 Определение коэффициента теплового сжатия графена
4 Заключение
5 Приложения
5.1 Использование кватернионов для описания кинематики частиц
5.2 Использование алгоритма “leap-frog1’ для численного интегрирования уравнений движения

1 Введение
“If in some cataclysm all scientific knowledge were to be destroyed and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis that all things are made of atoms-little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another. In that one sentence, you will see there is an enormous amount of information about the world, if just a little imagination and thinking are applied."
(c) Richard Feynman
Актуальность темы
Для решения задач механики, в которых по той или иной причине нарушается сплошность материала, на практике часто применяются дискретные способы описания, основанные на методах молекулярной динамики и дискретных элементов. При этом важно сравнение результатов, полученных дискретными методами, с аналогичными результата-ми, полученными на основе хорошо разработанного аппарата механики сплошных сред. Примером структур, для описания которых применяются как дискретные, так и континуальные подходы, являются наноструктуры. Необходимость согласования дискретного и континуального подходов делает актуальной проблему определения, эквивалентных термомеханических параметров, таких как тензоры напряжений и вектор теплового потока, для дискретных систем.
В настоящей работе подход к определению эквивалентных термомеханических параметров разрабатывается на примере идеальных кристаллов. Идеальные кристаллы, с одной стороны, являются удобной математической моделью, позволяющей проводить аналитические выкладки. С другой стороны, с развитием нанотехнологий становится возможным создание практически бездефектных кристаллов, близких к идеальным. В частности, перспективным материалом с низкой плотностью дефектов является графен.
Подход к определению эквивалентных термомеханических параметров может использоваться для интерпретации и верификации результатов, полученных методами молекулярной динамики и дискретных элементов. Задача интерпретации результатов возникает при решении дискретными методами задач, требующих рассмотрения также методами континуальной механики. Кроме того, определение эквивалентных термомеханических параметров необходимо при построении законов взаимодействия в дискретных средах (атомарных, гранулированных, сыпучих и т.п.) В частности, в данной работе проводится построение потенциала для описания механических свойств графена.
Определение эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем важно также при решении задач механики деформируемого твердого тела связанными дискретно-континуальными методами. В основу данных методов положено представление моделируемого объекта в виде двух частей, одна из которых описывается дискретными методами,

Рис. 2: Зависимость давления в равномерно нагретом кристалле при периодических граничных условиях от времени.
2.4.4 Пример: вычисление напряжений вокруг пары краевых дислокаций
Рассмотрим пример вычисления напряжений в дискретной системе в случае неоднородного напряженно-деформированного состояния. Сравним напряжения, задаваемые формулой (38), полученной в данной работе, с решением на основе механики сплошных сред.
Рассмотрим поле напряжений, индуцируемое парой краевых дислокаций, в двумерной треугольной решетке. Отметим, что аналогичная проблема в трехмерной постановке рассматривалась в работе [169]. Известно, что упругие свойства треугольной решетки изотропны [34]. Следовательно можно сравнить поле напряжений, порождаемое парой дислокаций в решетке с аналогичным полем напряжений в линейно упругом изотропном континууме.
Сначала определим поле напряжений в континууме, используя известные результаты, приведенные в монографии [117] для трехмерного континуума в условиях плоского деформированного состояния. Рассмотрим бесконечный трехмерный континуум, содержащий одиночную краевую дислокацию в условиях плоского деформированного состояния. Пусть ось х направлена вдоль вектора Бюргерса дислокации, а линия дислокации направлена вдоль оси г. Тогда напряжения в данном континууме имеют вид [117]
- Ъа у(3х2 + у2) = ЬС у(х'2 — У2) (70
Тх* 2тг(1 - V) (х2 + 2/2)2 > ТУУ 2тг(1 - и) (х2 + у2)2 ’
где й,и — модуль сдвига и коэффициент Пуассона трехмерного континуума; Ъ — модуль вектора Бюргерса. Нетрудно показать, что напряжения в двумерном континууме, содержащем дислокацию, также могут определяться по формуле (79), если модуль сдвига (Т заменить на модуль сдвига двумерного континуума Сго, а коэффициент Пуассона V вы-