Равновесие и устойчивость конечных деформаций изгиба и растяжения упругих тел при учете собственных напряжений

• Автор: Шубчинская, Наталия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Равновесие и устойчивость изгибаемого нелинейно-упругого бруса

1.1. Равновесие прямоугольного бруса при чистом изгибе

1.2. Устойчивость изгиба

1.3. Изгиб бруса из полулинейного материала

1.4. Изгиб бруса из материала Блейгца и Ко

1.5. Численные результаты

Глава 2. Равновесие нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями

2.1. Собственные напряжения возникающие вследствие клиновой

дисклинации
2.2. Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре
Глава 3. Устойчивость нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями
3.1. Линеаризация уравнений равновесия и бифуркационный анализ устойчивости
3.2. Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при
растяжении и сжатии
Заключение
Литература
Приложение А

Введение
Нелинейная теория упругости, как отдельная область механики деформируемого твердого тела, начала формироваться в конце 40-х годов прошлого столетия, как реакция науки на потребности техники и технологии, прежде всего связанные с производством и обработкой высокоэластичных материалов типа резин. Другими стимулирующими факторами ее развития стали экспериментально обнаруженные явления, не описываемые в рамках линейной теории упругости, например, изменение длины скручиваемого кругового цилиндра, известное как эффект Пойнтинга. Позже нелинейная теория упругости нашла широкое применение для описания других конструкционных материалов, испытывающих большие деформации - полимеров, композитов на основе эластомеров и т.д. Новый этап интереса к нелинейным задачам вызвало развитие биомеханики и необходимость моделирования упругого поведения мягких биологических тканей и клеточных мембран.
Проблемами деформирования трехмерных тел в рамках нелинейной теории занимались многие отечественные ученые: С.Г1. Тимошенко, В.А. Еремеев, Л.М. Зубов, П.А. Жилин, А.И. Лурье, А.Н. Гузь, М.И. Карякин, В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, А.Б. Фрейдин, Н.Ф. Морозов, В.А. Пальмов, А.А Роговой, В.И. Ерофеев. Среди зарубежных авторов стоит выделить S.S. Antman, R.W. Ogden, J.L. Ericksen, C. Trusdell, W. Noll, M.F. Beatty, J. Ball, R.S. Rivlin.
Зачастую в задачах, стоящих перед теорией упругости, не удается получить точное решение, несмотря даже на достаточно простую форму изучаемого объекта и граничные условия. В таких случаях часто используется полуобратный метод Сен-Венана [36J. С помощью этого метода удалось исследовать большой круг задач, рассмотренных в работах Л.М. Зубова [37-42], А.И. Лурье [9], М.И. Карякина [15, 16, 43—461, В.А. Еремеева [2], Д.Н. Шей-дакова [47, 48] R.W. Ogden [29], E. Kirkinis, R.W. Ogden и D.M. Haughton [49].
Одной из важных задач, рассмотренных полуобратным методом Сен-

Венана, является задача об изгибе прямоугольного бруса торцевыми моментами. Она была решена в рамках линейной теории упругости еще самим автором данного метода [36]. С тех пор было много попыток обобщить это решение на случай больших деформаций, но успеха в этом достиг лишь А.И. Лурье [9]. Одной из значимых причин изучения задачи об изгибе призматических тел является то, что изгиб является одним из широко распространенных видов деформирования конструкций различного рода. Большое количество результатов, рассмотренных исключительно для несжимаемых материалов, представлены в работах Р. Ривлина [50], С.О. Horgan и J.G. Murphy [51]. Задача об изгибании прямоугольного бруса в сектор цилиндра относится к универсальным деформациям [52]. Это означает, что такое описание удовлетворяет уравнениям равновесия для любого вида определяющих соотношений изотропных материалов. Исследованиям устойчивости изгиба посвящено много работ, например Triantafyllidis [53], Haughton [54], Coman and Destrade [55], Destrade, Gilchrist и Murphy [56].
В случае сжимаемых материалов задаче изгиба призматического бруса было уделено меньше внимания. Несмотря на эго, есть точное исследование в книге R. Ogden [29], в которой приведены аналитические решения задачи об изгибе бруса для нескольких видов определяющих соотношений сжимаемых нелинейно-упругих материалов. Точное нелинейное решение задачи о чистом изгибе бруса в рамках плоской деформации в случае больших изгибных деформаций для гармонического материала опубликовано в [9]. Аналитическое решение для модели материала Блейтца и Ко было представлено в работе Carrol и Horgan [57]. Работы Aron и Wang [58], Bams, Xiao и Meyers [59] посвящены различным аспектам задач об изгибе бруса прямоугольного поперечного сечения. Задача об изгибе трансверсально-изотропного упругого бруса представлена в работе R.W. Ogden и F. Kassianidis [60].
Специальная нелинейная теория чистого изгиба призматического бруса была опубликована в статье A.A. Зелениной и J1.M. Зубова [61]. В этой рабо-

Для материала Блейтца и Ко (1.4.1) задача (2.1.2)—(2.1.3) выписывается в

Р" = -4 = О,

(2.1.5)
iß - l)k9 +ßkor= = 0.

Р'[ = Р,4к + Р'ък2 + Р'4+2и (к3, + к32) - (Н'|+2‘Ч1 - ß) - p,s+2") к +к5 (р/4*+4 [iß - )2а - ß) + Р'4«+3 (ß-Dil- 2а)), Р"2 = гР (Р'2к +к-,Р'2+4а + (3 {ß - 1) Р,2а - Р,2и+4) *„),
и введены обозначения:
ку = (1 -a)ßr4a~], кг = Pßr4a 1 + 2а),
км = у2“' ((1-/3) г^р2ч-2х2а-2^ _
*32 = -ßr2l,-[ Р2+2иХ2+2ау2а.
к4 = г2ор+2ах2ау2,у^
к5 = /*'+lx4uyUf
/с6 = (1 - 2»)/Зг4Д
/г7 = (1 -ß)P4ax4ay4l,i -2а),
к% = г2аР2ах2 ау2й-
к9 - p/2+2ap2a}<2ar-2a^2o^
к]0 = р'2-2а р-2а х~2а р.а у-2а
Компоненты тензора напряжений Коши (1.1.12) в случае полулинейного материала (1.3.1) имеют вид:
riP' - 1)(/1 + 2 р) + ÀiPx + г (у - 2))
о" дд

ІЛ + 2р)ІРх-г)-Лг{Р' + у-2)
<Тфф = — — , (2.1.6)

Л {Р'г + Рх + уг — 3г) + 2pr (у — 1)
(Т 77 =