Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости в напряжениях

• Автор: Гасратова, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Осесимметричные задачи и методы их решения
§1. Основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости
§2. Сведение основных уравнений осесимметричной задачи теории упругости
к решению гармонического и бигармонического уравнений
§3. Некоторые осесимметричные задачи и методы их решения
Глава II. Уравнения осесимметричной задачи в напряжениях
§1. Уравнения равновесия
§2. Определение перемещений по компонентам деформации. Уравнения
сплошности
§3. Основные уравнения осесимметричной задачи теории упругости в напряжениях
§4. Статические и кинематические краевые величины в напряжениях
Глава III. Решение в напряжениях осесимметричных задач со сферической границей
§1. Разложение напряжений в степенной ряд по cos# и вывод уравнений для
определения коэффициентов ряда
§2. Введение новых неизвестных и упрощение системы (1.6)
§3. Приведение системы уравнений (2.5), (2.6) к виду, удобному для интегрирования
§4. Преобразование соотношений (1.7), (111)
§5. Напряженно-деформированное состояние, симметричное относительно
плоскости г
§6. Определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферической неоднородностью
§7. Неоднородность, близкая к сфере

Заключение
Список литературы

Введение. На современном этапе развития науки и техники уже сложно представить проектирование изделий и конструкций без специализированного программного обеспечения. Наиболее распространенные программные пакеты базируются на методе конечных элементов. Круг решаемых ими задач охватывают почти все сферы инженерных расчетов: прочность, колебания, акустика, гидродинамика и т.д. Казалось, проблемы в определении напряженно-деформированного состояния тел, в частности, решены.
Однако, данные программные продукты в подавляющем большинстве используют стандартные и широко известные алгоритмы и стандартный математический аппарат для решения задач, что указано в статьях Назарова Д. И. [53], Ясницкого Л. Н. [54] и др. Таким образом, ожидать принципиальных отличий того или иного пакета не приходится. Кроме того, из-за особенностей конечно-элементной теории и программирования в используемом обеспечении существуют ошибки, что отражено в ряде исследований. В подтверждение этого, характерной особенностью программ данного класса является то, что производитель снимает с себя всякую ответственность за достоверность результатов, которые следует рассматривать как ознакомительные, что указано в лицензии к программному продукту.
Таким образом, без применения аналитических методов проверить и получить достоверные результаты не представляется возможным. Разработка аналитических методов решения задач теории упругости остается важным и актуальным направлением, особенно с появлением новых материалов, например, композиционных.
Поскольку указанные материалы в своей структуре имеют некоторые особенности, которые представляют собой тела вращения, то задачу об определении напряженно-деформированного состояния вблизи неоднородностей (полостей, упругих или жестких включений) следует рассматривать как осесимметричную с учетом того, что внешняя нагрузка и граничные условия обладают той же симметрией, что и сам рассматриваемый объект. Существует два пути решения задач теории упругости: в перемещениях с использованием уравнений Ламе или в напряжениях.
Конечно, при обоих подходах общее решение пространственной задачи не существует, и обычно речь идет о частном решении. При решении осесимметричных задач чаще встречаются следующие приемы и их комбинации: представление искомых величин в рядах: представление искомых функций в той форме, которая позволяет разрешаю-

х - (2п + 1)2" 1 + (2п + 1)(2" х + Т"х - Т") + Яг3Я2" = О,
2ц + А ! и л Ц л . л и „ ся /гг// ПІІ I о„ с// -7//
2(// + Л)
(Я" + г" х + 5" - Г" 0 + Щ - Я" + 2пЯ" - (!/„" х - Я" х + 2пЯ" х - 2"_х) = О,
г-Я"-(2п+3)Яп-(2п+2)(/-5"-(2п+3)Я")-2(п+1)(2п+3)Я"1+4(п+1)Т"1=0,
- 5" - (-£/" + Я" - 2" х + Т",); = 0 (4 3)
Заменяя во втором и третьем уравнениях системы (4 3) п на п + 1 находим, что
([/"—Я"+2(п+1)5") = ^±^(Я" 1+^"а+5"1—Т"2)+(1/" х-Я"+1+2(п+1)5" х-2" х) “ (2П + 3)^" + (2П + 3)(^+2 + Г"+2 ~ ^ + ЛГЗР‘1 = ° (4 4)
Обозначим
2М + (*"+1 + + 5" х - Тп"2) + (!/" х - Д" х + 2(п + 1)5" х - 2"х) = ^п+
2(/х + А)
Подставив (4 4) в (4 3), получим окончательный вид системы удобный для интегрирования
г^Я" - (2п + 3)Я" = ф3п+1 - (2п + 3)Т"1 - г3Я" ,
- (2п + 3)2" + (2п + 1)Т„" = (2п + 1)(Г"2 - Т"х - 2" х) - г3Я"
Д Я" - (2,7 + 3)5" = -^„+1 + Тп г-^иі1 - (2п + 3)ЯП" + 2(п + 1)(Г"Х - 2(2гс + 3)(п + 1)5" х = -2(п + 1)^„+і (4 5)
Для вывода уравнения относительно величины Т^'+1 к уравнению
(Я" + 2" + 5" - Т"х) + и" - Я" + 2пЯ" - ([/" х + 2" х - Я" х + 2п5" х) =
2(// + Л)
применим последовательно два оператора (, ^ — (2п + 1))[ ] = (/ ^ — (2п + 3) + 2)[ ] и (г^ — (2т) + 3))[] В первом случае избавляемся от величин с индексом (п — 1), а во втором - от величин с индексом (п) В итоге получим уравнение для нахождения ТДХ <1 ( (І
~Г<іг
(Г^Т"+1) ~ 2(2П + 1)гТгТ”+1 ” 4П(П + 1)Т"+1 = Ф"/+1 (4 6)

ф"+1 = -г , [—(4п2 — 3)-05п+і + (2п + 3) (2(п + 1)(4п + 3)Яге+і — (2п + 1)(2п+і — Тга+2))] +